Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Презентация на тему Полный дифференциал функции нескольких переменных

Содержание

2. Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение
3. Определение дифференцируемой функции Функция
4. Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx
5. Формула для вычисления дифференциала Если
6. При малых
7. Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка
8. Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят,
9. Экстремумы функции двух переменных
10. Достаточные условия экстремума функции двух переменных
11. Пример Исследовать на экстремум функцию
12. Наибольшее и наименьшее значения функции Определение.
13. Известно, что непрерывная в
14. Пусть функция непрерывна в замкнутой
15. Пример Найти наибольшее и наименьшее значения
16. Скалярное поле Лекция 3
17. Основные определения
18. Основные определения Множество точек М области
19. Если область D расположена на
20. Пусть
21. Линии уровня Пусть
22. Пусть дан конус
23. Линии уровня конуса
24. Пусть задана дифференцируемая функция
25. ОпределениеПусть
26. Производной функции в
27. Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению:
28. Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля
29. Пример Найти градиент
30. Направление градиента Теорема. Производная функции по
31. Направление градиента Так как производная по
32. Величина градиента плоского скалярного поля Величина
33. Градиент скалярного поля в данной
34. Скачать презентацию
35. Похожие презентации

Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Главная
Математика
Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменныхЛекция 2

Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Определение дифференцируемой функции Функция

Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения

Формула для вычисления дифференциала Если функция

Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется Вообще:

Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят, что в точке

Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума). В

Достаточные условия экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть функция z=f(x,y)

Наибольшее и наименьшее значения функции Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции

Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри

Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном

Основные определения Пусть в области D пространства

Основные определения Множество точек М области D, для которых скалярное поле

Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у)

Производной функции в точке P по направлению

Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению:

Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется

Направление градиента Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой

Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой

Величина градиента плоского скалярного поля Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е.

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению

Направление градиента Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется

Слайды презентации

Слайд 2 Полное приращение функции 2-х переменных
Если обеим

переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Слайд 3 Определение дифференцируемой функции
Функция

Определение дифференцируемой функции Функция называется

называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде
,
где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем
-расстояние между М(х,у) и

Слайд 4 Определение дифференциала
Главная линейная относительно Δx и

Δy часть полного приращения функции

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, .

Слайд 5 Формула для вычисления дифференциала
Если функция

дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В .
Так что,
.
Если положить ,то

Слайд 6
При малых

, то есть

,
или
.
Пример. Вычислить приближенно
.

Слайд 7 Дифференциалы высшего порядка
Дифференциалом второго порядка функции

z=f(x,y) называется

Вообще:
Если х и

у независимые переменные, то .

Слайд 8 Экстремумы функции двух переменных
Определение. Говорят, что

в точке

функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство

Аналогично определяется минимум функции.
Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.

Слайд 9 Экстремумы функции двух переменных
Теорема

Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума). В точке

(необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных

каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Слайд 10 Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные

производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если
.
Если же в этой точке , то экстремума в точке нет.
В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.

Слайд 11 Пример
Исследовать на экстремум функцию

Слайд 12 Наибольшее и наименьшее значения функции
Определение. Наименьшее

или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным

экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

Слайд 13
Известно, что непрерывная в замкнутой

ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и

наименьшего значений.
Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

Слайд 14
Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной

области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее

и наименьшее значения функции в этой области, нужно:
1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Слайд 15 Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в треугольнике, ограниченном прямыми

Слайд 16 Скалярное поле
Лекция 3

Слайд 17 Основные определения
Пусть

Основные определения Пусть в области D пространства Охуz задана

в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В

этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

Слайд 18 Основные определения
Множество точек М области D,

для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е.

u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

Слайд 19
Если область D расположена на плоскости

Оху, то поле u=u(х,у) является плоским.

Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

Слайд 20
Пусть

Слайд 21 Линии уровня
Пусть

. Линии уровня

этой поверхности имеют вид

Слайд 22
Пусть дан конус

Слайд 23 Линии уровня конуса

Слайд 24
Пусть задана дифференцируемая функция

скалярного поля.
Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора

где –углы, образованные вектором с осями координат .

Слайд 25 Определение

Пусть

– какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим

– расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность

Слайд 26
Производной функции
в точке

Производной функции в точке P по направлению называется

P по направлению называется предел отношения приращения

функции в направлении
к величине перемещения
при : .

Слайд 27 Вычисление производной по направлению
Формула вычисления производной

по направлению:

Слайд 28 Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z),

где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами

.

Таким образом,

или .

Слайд 29 Пример
Найти градиент функции

u=

в точке M(6,2,3).
Решение. Вычислим градиент функции.

Тогда grad u = + +

А в точке М

Слайд 30 Направление градиента
Теорема. Производная функции по направлению

равна проекции градиента этой функции на данное направление (в

соответствующей точке).

Слайд 31 Направление градиента
Так как производная по направлению

Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой скорость

представляет собой скорость изменения функции в данном

направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то
градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.