Презентация на тему Исследование функций с помощью производной

не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому,
И я научусь.
Конфуций

использования аппарата производной;
- выявить уровень овладения учащимися комплексом

знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся.
⮚ Развивающие.
Развивать:
- способности к самостоятельному планированию и организации работы
- навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;
- умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.
⮚ Воспитательные.
Воспитывать:
- познавательный интерес к математике;
- информационную культуру и культуру общения;
- самостоятельность, способность к коллективной работе.

творческого применения знаний
Необходимое условие возрастания и убывания функции
Достаточное

условие возрастания и убывания функции
Необходимое условие экстремума. (теорема Ферма)
Признак максимума функции.
Признак минимума функции.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции

р е м а.

Если дифференцируемая функция f(x), х∈(а;b), возрастает (убывает) на (а;b), то f `(x) ≥ 0 (f `(x) ≤ 0) для любого х из интервала (а;b).

функция f(x), х∈[а;b], непрерывна на отрезке [а;b] и дифференцируема

на интервале (а;b), то найдётся точка с∈(а;b) такая, что имеет место формула
f(a) – f(b) = f `(c)(b – a)

Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).

Если функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b).

α > 0
f `(x) > 0

Функция убывает
α > 900

tg α < 0

f `(x) < 0

`(x) данной функции f(x), а затем находим точки, в

которых f `(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x)

функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых

производная f `(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

f `(x) на каждом

из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f `(x) ≥ 0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f `(x) ≤ 0, то на таком интервале f(x) убывает.

(теорема Ферма)
Если точка х0 является точкой экстремума функции f

и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю:
f `(x) = 0.

Например, производная функции f(x) = x3 обращается в нуль

в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет.

0

Если функция f непрерывна в точке х0, а

f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

построение

Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x)

< 0 на интервале
(а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f

X

Y

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

построение

о р е м а. Пусть функция f(x), х∈(а;b),

имеет первую и вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех х∈(а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех х∈(а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b).

α - убывает
f `(x) – убывает

f ``(x) < 0

График вогнутый
α - возрастает
tg α - возрастает
f `(x) – возрастает
f ``(x) > 0

α1

α2

A1

A2

A1

A2

знак второй производной в некоторой окрестности критический точки.

Если f ``(х) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х0, то (х0; f(х0)) - точка перегиба графика данной функции

систематизация знаний и способов деятельности

на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет

минимум, имеет перегиб.,

= f (x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

+ 5
у = (x2 – 1)2
Ответы

с применением электронного учебного пособия «Математика – практикум 5-11»

и по индивидуальным заданиям на местах. За компьютер сначала рассаживаются 7 учащихся, остальные за парты. По мере выполнения заданий ребята меняются местами.

2.
4.
6.