Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Кросс-суммы и магические квадраты

Содержание

Пришельцы из Китая и ИндииОдним из наиболее древних и наиболее совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический (или волшебный) квадрат.Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге,
Магические квадратыПрезентация к исследовательской работеВыполнил: ученик 10 класса Кирьяков КириллРуководитель: Лонская Т.А., учитель математики Пришельцы из Китая и ИндииОдним из наиболее древних и наиболее совершенных видов Пришельцы из Китая и ИндииСтарейший в мире магический квадрат представлен выше. Черными Пришельцы из Китая и ИндииИ всё же это великолепный образец кросс-сумм! Девять Пришельцы из Китая и ИндииЗдесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках Пришельцы из Китая и ИндииКаждое число магического квадрата участвует в двух суммах, Пришельцы из Китая и ИндииНо не мог же Гете потерять чувство художественной Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей еще надо в Свойства магического квадрата А.ДюрераВ Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного магического квадрата:Сумма чисел, расположенных В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых - Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть Как самому составить магический квадратЕсли некоторое количество порядковых чисел, например, все целые Квадраты нечетного порядкаСтроим, квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем его Как самому составить магический квадратНо у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: Квадраты порядка, кратного четырем Для составления какого-либо магического квадрата порядка n=4, 8, Конец
Слайды презентации

Слайд 2 Пришельцы из Китая и Индии
Одним из наиболее древних

Пришельцы из Китая и ИндииОдним из наиболее древних и наиболее совершенных

и наиболее совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический

(или волшебный) квадрат.

Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры.

Слайд 3 Пришельцы из Китая и Индии
Старейший в мире магический

Пришельцы из Китая и ИндииСтарейший в мире магический квадрат представлен выше.

квадрат представлен выше. Черными кружками в этом квадрате изображены

четные (женственные) числа, белыми – нечетные (мужественные) числа.
В обычной записи он не так эффектен:

Слайд 4 Пришельцы из Китая и Индии
И всё же это

Пришельцы из Китая и ИндииИ всё же это великолепный образец кросс-сумм!

великолепный образец кросс-сумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти

клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата).
Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности:

Слайд 5 Пришельцы из Китая и Индии
Здесь 16 порядковых чисел

Пришельцы из Китая и ИндииЗдесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати

размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное

свойство магического квадрата.
Действительно:

Слайд 6 Пришельцы из Китая и Индии
Каждое число магического квадрата

Пришельцы из Китая и ИндииКаждое число магического квадрата участвует в двух

участвует в двух суммах, а числа расположенные по диагоналям

даже в трёх, и все эти суммы равны между собой!
Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.
Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придаёт квадрату «волшебную» силу произведения искусства.
И магические квадраты вошли в искусство.
В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего зелья.
Слова, которыми колдунья сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:

Слайд 7 Пришельцы из Китая и Индии
Но не мог же

Пришельцы из Китая и ИндииНо не мог же Гете потерять чувство

Гете потерять чувство художественной меры и отдать абракадабре целых

13 строк поэтического текста!
Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смыcла, скрытого в этом тринадцатистишии: Очевидно, y них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.

Давайте это сделаем. построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи:
Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем ЧИСЛО 1 числом 10.
Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, a также 3.
Зачеркиваешь 4 — это значит заменяем нулем число 4.
Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8, вписываем 5 и 6

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10

0


Слайд 8 Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит.

Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей еще надо

Ей еще надо в последней ячейке квадрата заменить девятку

числом 4
Вот теперь формирование «талисмана» окончено и последние три строки тринадцатистишия уже ничего не добавляют к пониманию смысла «заклинаний» колдуньи. Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая константа (15) получается только при сложении чисел вдоль любой строки и любого столбца, но не вдоль диагоналей.
Квадрат с таким свойством чисел, занимающих его ячейки, принято называть полумагическим.
Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал процесс омoложeния Фауста.

9

8

7

6

5

4

3

2

10

0

Пришельцы из Китая и Индии


Слайд 9 Свойства магического квадрата А.Дюрера
В Европу магические квадраты проникли

Свойства магического квадрата А.ДюрераВ Европу магические квадраты проникли лишь в начале

лишь в начале XV века. A в начале XVI

века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравером и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия» (1514 г.).

Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел.

Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.


Слайд 10 Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного

Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного магического квадрата:Сумма чисел,

магического квадрата:

Сумма чисел, расположенных по углам нашего магического квадрата,

равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата:

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1

4

13

+

+

+

=

34

Свойства магического квадрата А.Дюрера


Слайд 11 В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих

В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых

чисел, сумма которых - 15, и еще пара тоже

рядом стоящих чисел, сумма которых -19.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

+

+

=

=

Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

15

19

Как видите, получились попарно равные суммы!

Свойства магического квадрата А.Дюрера


Слайд 12 Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы

Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов

чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между

собой, и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.

Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, получим то, что показано на рисунке а, выше:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон, и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:
12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34;
б) еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

Свойства магического квадрата А.Дюрера


Слайд 13 Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя

Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то

их чередование, то есть - числа первого столбца в

той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется магическим с теми же его свойствами.

Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом).
Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из 16 чисел.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем, местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, что показано на рисунке справа:

Свойства магического квадрата А.Дюрера


Слайд 14 Как самому составить магический квадрат
Если некоторое количество порядковых

Как самому составить магический квадратЕсли некоторое количество порядковых чисел, например, все

чисел, например, все целые числа от 1 до 16

или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.
Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.

Слайд 15 Квадраты нечетного порядка
Строим, квадрат ABCD с 25 клетками

Квадраты нечетного порядкаСтроим, квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем

и временно дополняем его до, симметричной ступенчатой фигуры со

ступеньками в одну клетку.
В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

9

21

13

5

17

16

8

25

12

4

3

20

7

24

11

A

B

C

D


Слайд 16 Как самому составить магический квадрат
Но у получившегося квадрата

Как самому составить магический квадратНо у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное

обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные симметрично

относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы.
Например:
1+25=19+7=18+8=23+3=
=6+20=2+24=4+22 и т. д.
Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметричными.

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

9

21

13

5

17

16

8

25

12

4

3

20

7

24

11

=26


Слайд 17 Квадраты порядка, кратного четырем
Для составления какого-либо магического

Квадраты порядка, кратного четырем Для составления какого-либо магического квадрата порядка n=4,

квадрата порядка n=4, 8, 12, ..., 4k удобна, например,

такая простая схема:

Разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);
Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2
В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10.
Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


  • Имя файла: kross-summy-i-magicheskie-kvadraty.pptx
  • Количество просмотров: 96
  • Количество скачиваний: 0