Презентация на тему линейные дифференциальные уравнения первого порядка

функции или её дифференциалы.
3.Что значит решить ДУ?
Найти такую функцию,

4. Какое решение ДУ называется общим?

Решение, содержащее произвольную постоянную С.

5. Какое решение ДУ называется частным?

Решение, в которое подставлено числовое значение С.

2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными?

уравнение называется ДУ первого порядка с разделяющимися переменными?
Уравнение вида
Уравнение

8. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с разделёнными переменными?

6. Что называется порядком ДУ?

Наивысший порядок производной, входящий в уравнение.

Бернулли
(1654-1705)
К портрету Иоганна Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел истину,
Его

— в честь Якова.
Закон Бернулли и Интеграл Бернулли в

Три поколения Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков.

Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро представителей семьи Бернулли.

В честь Якова и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

Иоганна Бернулли
Метод вариации произвольной постоянной
Метод подстановки
Линейное

называется однородным, если функция

Замечание. Уравнение называется линейным, так как искомая функция y и её производная y’ входят в это уравнение в первой степени.

Уравнение вида , где и – функции переменной или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка

Линейное ДУ первого порядка называется неоднородным, если функция

уравнениями первого порядка, а какие нет и почему?
1) Есть

2)

3)

2) Не является линейным, так как содержит вторую производную

3) Не является линейным, так как содержит

решение)
2. Решить уравнение
Выразить производную функции через дифференциалы
Разделить переменные
Интегрировать
(общее

Решение:

можно представить в форме произведения двух сомножителей, причем один

В результате линейное неоднородное ДУ сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными:

где

и

- новые функции переменной

1. Решить уравнение

Решение:

Положим

тогда

или

С=0, ввиду произвольности в выборе
(1)
Имеем

писать обязательно
Окончательно получим
(общее решение)
Замечание. Уравнение (1) можно было записать

к виду
находят
2. Используя подстановку
и подставляют эти

3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций

за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство

6. Если требуется найти частное решение , то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

или

первого порядка?
2. При каких условиях линейное ДУ первого порядка

ДУ с разделяющимися переменными

3. К какому ДУ приводится линейное однородное уравнение ?

4. Какими методами решается линейное неоднородное ДУ ?

Методы Бернулли, Лагранжа

5. В чем заключается метод Бернулли?

В подстановке

задачу Коши для линейного ДУ первого порядка