Презентация на тему Логарифмические уравнения и их системы

0, а =1) называется логарифмческой.



График логарифмической функции logaх можно

построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y = ax
, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

a > 1;
1.D(f) = (0; + ∞);
2.не является

ни четной, ни нечетной;
3.возрастает на (0; + ∞);
4.не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5.не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6.непрерывна;
7.E(f) = (- ∞;+ ∞ );
8.выпукла вверх;
9.дифференцируема.

y = logaх при 0 < a < 1;
1.D(f) = (0;+ );
2.не является ни четной, ни нечетной;
3.убывает на (0; +);
4.не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5.нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6.непрерывна;
7.E(f) = (-;+ );
8.выпукла вниз;
9.дифференцируема.

результате сдвига графика функции y = ln x на

одну единицу влево (при этом мы получаем функцию y = ln (x + 1)) и на одну единицу вниз

Изобразить график функции y=|ln x| .
График искомой

функции y=|ln x| получается в результате следующих преобразований. Часть графика функции , лежащая в области x ≥ 1, совпадает с графиком функции y = ln x. Остальная часть, соответствующая y < 0 (при 0 < x < 1), отражается относительно оси Оx в верхнюю полуплоскость.

y=|ln x| , как описано в предыдущем примере. Затем

отразим график этой функции относительно оси Оy в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой график искомой функции

переменных;
логарифмирование

log5 x=0 имеет один корень x=1,поскольку график функции y=log5

x
пересекает ось х в единственной точке (1;0).

loga f(x) = loga g(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

а>0

в

– не удовлетворяет условию х>0
Ответ: 4
2

0,
g(x) > 0

x=7,
X-1>0,

x>1,
2x-8>0, x>4,
x≠1, x≠1,
x>0 x>0
x=7 удовлетворяет всем условиям системы
Ответ: 7

f(x) = t, f(x)>0

t + t + c = 0
Далее решаем квадратное уравнение
Д = t - 4*a*c
Находим t1 и t2
Подставляем значения t1 и t2:

2

2

loga f(x)=t1

loga f(x)=t2

t, x>0
2t - 7t - 4 = 0,
Д =

49 + 32 = 81,
t1 = (7+9) / 4 = 4,
t2 = (7-9) / 4 = -1/2
log0,3 x = 4, log0,3 x = -1/2,
x1 = 0,0081 x2 = √30 / 3
Ответ: 0,0081; √30 / 3

2

2

Прологарифмируем обе части по основанию 5.
log5x

= log50,04
Учтем, что log5x = r*log5x и что log50,04 = -2, следовательно уравнение можно привести к следующему виду:
(1-log5x) * log5x = -2
log5x = y
(1-y) * y = -2
y² - y – 2 = 0,
log5x = 2, log5x = -1
x = 25 x = 1/5
Ответ: 1/5; 25

1- log5x

1- log5x

r

log5(x+y)=1 x +

y=5
log6x+log6y=1 log6xy=1 x * y=6
x=5-y 3) x1=5-3=2
(5-y)*y=6 x2=5-2=3
5y-y²-6=0
y²-5y+6=0
Д = 25-24=1
y1=(5+1)/2=3
y2=(5-1)/2=2
Ответ : (2;3),(3;2).

неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,

называется логарифмическим неравенством.

Логарифмические неравенства

f(x)>g(x)>0,

a>1.

0

0

⬄

⬄

2) logh(x) (x)>logh(x)g(x)

f(x)>g(x)>0,

h(x)>1.

0

0

⬄

Равносильные преобразования

7-x>0,
7-x≠1,
x2 -5x+6>0,
2x-4>0.

⬄

xє(5;6)

- logx+1(x-1)0,
x+1>0.
⬄
x(x-1)(x-2)1.

xє(1;2)
⬄

⬄
(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)>0,
a>0,a≠1,
b>0,
c>0,c≠1,
d>0.

Замена переменной

уравнение:
-lg(10-x)=-2
lg(10-x)=2
Решим получившееся уравнение по определению логарифма:
10-x=102
-x=90
x=-90.
Найденный корень

уравнения удовлетворяет О.Д.З.

Ответ: -90 .

числитель:
loga(b3)*logba = logbb3 = 3*logbb = 3
У нас

получилось следующее выражение: 3/(a*b)
Теперь подставим значения a и b в получившееся выражение: 3/(3*5)=0,2 .
Ответ: 0,2 .

отрезке [1/3;3]
Решение.
Рассмотрим функцию y=log1/3f(x) – она убывающая, следовательно

принимает наибольшее значение при наименьшем значении функции f(x).
Функция f(x)=√(x3) возрастающая и определена на промежутке (0;+∞), т.е. наименьшее значение принимает при наименьшем значении x.
yнаиб=y(1/3)=log1/3√(1/27)=log1/3(1/3)3/2=3/2*log1/3(1/3)=1,5
Ответ: 1,5.

7^log7x и подставим в данное неравенство:
7^log72x+ 7^log72x

решим его:
2* 7^log72x<14
7^log72x<7, 7>1
log72x<1
-11/7Данный промежуток удовлетворяет О.Д.З.


Ответ: (1/7;7) .

ЕГЭ)
1. Вычислите:

1. Вычислите:


1)8 2)2 3)3 4)4 1)13 2)2 3)17 4)-169
2. 2.





1)-6 2)6/49 3)6 4) а-49 1)-1 2)9 3)4 4)0,8
3. Вычислите: 3.Вычислите:
1)13 2)9 3)22 4)5 1)17 2)4 3)14 4)23
4. Найдите область определения функции
4. 4.




5. Вычислите: 5. Вычислите:

Составьте число из номеров правильных ответов.
Проверим ответы.

бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения

Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.

потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются

одинаковым образом - по логарифмической шкале.

видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей

и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза.
Короче говоря, оценивая видимую
яркость звезд, астроном оперирует
с таблицей логарифмов, составленной
при основании 2,5.

шума. Вредное влияние шумов на здоровье людей побудило изучению

шумов,к их классификации, к созданию определённых стандартов и эталонов. Единицей громкости служит «бел», практически - его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости - 1 бел, 2 бела и т. д. (практически- 10 децибел, 20 децибел и т. д.)--составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, вы­раженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

физической характеристики
Формула зависимости
N~lg S,
где N - величина громкости;

S – сила звука

бел, признается вредным для человеческого организма.
Указанная норма

на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел.
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое - следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

музыка и логарифмы связаны между собой. Известный физик Эйхенвальд

вспоминал: “Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

разных октавах:
Номер октавы

Частота
0 n
1 2n
2 nx22
… …
m nx2m