Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1

Содержание

1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более
(типовые задания С3) - 1Методы решения неравенствс одной переменнойМетодическая разработка Амачкиной А.А.МОУ 1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в обеих 1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности системКак правило, преобразования используют В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Так как x2 - 6x + при x = 2 или x = 4 . Значит, с учетом На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.Замечание. При решении Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим: Неравенства, содержащие иррациональные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств, в Пример 3. Решите неравенствоРешение. Если 2 - x > 0 или 2 На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенствоРешение. Используя схему (6), получим, что данное Первое неравенство системы (I) приводим к виду:На числовой прямой Ox дано графическое Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем:Следовательно, решением системы При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к равносильной Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное неравенство выполняется Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. Пример 6. Решите неравенствоРешение. Обозначим . Тогда выразим x = t 2 + Возвращаемся к переменной x : Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Область определения данного неравенства определяется условиями:Запишем Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе части неравенства На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.С учетом условия Неравенства, содержащие показательные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в В частности: Пример 8. Решите неравенствоРешение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x определяется Получаем неравенство2-й способ. Так както, используя схему (12), получаем: Замечание. При решении неравенства log2(x2-1) Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме Неравенства, содержащие логарифмические выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в ● Если число 0 < a < 1, тоВ частности:● Если число Пример 10. Решите неравенствоlog0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в обеих Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенствоРешение. В соответствии с определением логарифма, входящие Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы равенства:то С учетом области определения данного неравенстваполучаем ответ. Неравенства, содержащие выражения с модулямиПример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются на Пример 14. Решите неравенствоРешение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильно Пример 15. Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно следующемуИспользуя схему (23), получаем, что Пример 16. Решите неравенствоРешение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильно Для решения неравенств вида:где символ \/ заменяет один из знаков неравенств: применяют На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим Если , то исходное неравенство равносильно неравенствуx -1+ x - 2 > 3+ Расщепление неравенствЕсли левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а правая Пример 18. Решите неравенствоРешение. Приведем данное неравенство к следующему виду:В соответствии со Решим каждое неравенство системы (I).Для неравенства (1) имеем:Для неравенства (2) имеем: Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).Найдем решение Значит все значения – решения системы (II).Объединяя решения систем (I) и (II), получаем Используемая литература:Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.
Слайды презентации

Слайд 2 1. Алгебраические методы решения
Если исходить из определения неравенства,

1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в

в котором в обеих частях записаны выражения с переменной,

то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.

Слайд 3 1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности

1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности системКак правило, преобразования

систем
Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве

освободиться от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма. Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований

Слайд 4 В общем случае, если решение неравенства не укладывается

В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему,

в стандартную схему, ход решения разбивают на несколько логически

возможных случаев.

Слайд 5 Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Так как

Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Так как x2 - 6x

x2 - 6x + 9 = (x-3)2 , то

область допустимых значений переменной x определяется условиями:

Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству

Слайд 6 при x = 2 или x = 4

при x = 2 или x = 4 . Значит, с

. Значит, с учетом полученных ранее ограничений, x =

2 – решение, так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.

Слайд 7 На числовой прямой Ox дано графическое представление решения

На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.Замечание. При

последнего неравенства.
Замечание. При решении неравенства

использован метод интервалов.
С

учетом полученных ранее ограничений записываем ответ.

Слайд 8 Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные

Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:

преобразования данного неравенства, получим:

Слайд 9 Неравенства, содержащие иррациональные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для

Неравенства, содержащие иррациональные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств,

решения иррациональных неравенств, в которых используют возведение в натуральную

степень обеих частей неравенства.

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12 Пример 3. Решите неравенство
Решение. Если 2 - x

Пример 3. Решите неравенствоРешение. Если 2 - x > 0 или

> 0 или 2 - x = 0 ,

то исходное неравенство не выполняется, так как

Пусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 - x > 0 равносильное неравенство.

Слайд 13 На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения

На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем

последней системы неравенств. В итоге получаем

Слайд 14 Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство
Решение. Используя схему

Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенствоРешение. Используя схему (6), получим, что

(6), получим, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Для

системы (I) имеем:

Слайд 15 Первое неравенство системы (I) приводим к виду:
На числовой

Первое неравенство системы (I) приводим к виду:На числовой прямой Ox дано

прямой Ox дано графическое представление решения первого неравенства системы

(I).

Слайд 16 Тогда решением системы (I) все значения






Для системы

Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем:Следовательно, решением

(II) имеем:
Следовательно, решением системы (II) будет Объединяя решения (I)

и (II), получаем ответ.

Слайд 17 При решении данного в примере 4 неравенства использован

При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к

формальный переход к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим

содержательную сторону этого перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условии
равносильное не равенство, то есть систему неравенств

Слайд 18 Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как ,

Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное неравенство

то исходное неравенство выполняется на области его определения, т.е.

получаем систему неравенств

Слайд 19 Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные

Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим

переходы, получим

Слайд 20 На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

системы неравенств.

Слайд 21 Пример 6. Решите неравенство
Решение. Обозначим . Тогда выразим x

Пример 6. Решите неравенствоРешение. Обозначим . Тогда выразим x = t 2

= t 2 + 2 и приведем данное неравенство

к виду

Так как t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при

Отсюда получаем

Слайд 22 Возвращаемся к переменной x :

Возвращаемся к переменной x :

Слайд 23 Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
Решение. Область определения

Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Область определения данного неравенства определяется

данного неравенства определяется условиями:
Запишем исходное неравенство в следующем виде

Слайд 24 Так как на области определения исходного неравенства , то,

Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе части

умножив обе части неравенства (*) на получим неравенство, равносильное

исходному:

Левая и правая части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5

Слайд 25 На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.С учетом

системы неравенств.
С учетом условия - 0,5 < x

8 получаем ответ.

Слайд 26 Неравенства, содержащие показательные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения

Неравенства, содержащие показательные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств,

показательных неравенств, в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.

Слайд 27 В частности:

В частности:

Слайд 28 Пример 8. Решите неравенство
Решение. 1-й способ. Область допустимых

Пример 8. Решите неравенствоРешение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x

значений переменной x определяется условием:
При допустимых значениях переменной преобразуем

левую часть данного неравенства

Слайд 29 Получаем неравенство
2-й способ. Так как
то, используя схему (12),

Получаем неравенство2-й способ. Так както, используя схему (12), получаем:

получаем:

Слайд 30 Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)

Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)

логарифмических неравенств (см. раздел неравенства, содержащие логарифмические выражения»).

Слайд 31 Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x

Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x

x < (x2+x +1)0 и воспользуемся схемой (9).

Решим систему (1) полученной совокупности:

Решим систему (2) совокупности:

Слайд 32 При решении данного неравенства использован формальный переход к

При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по

равносильной совокупности по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого

перехода. Выражение (x2 + x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенства

lg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1) <0

Слайд 33

Слайд 34 Неравенства, содержащие логарифмические выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения

Неравенства, содержащие логарифмические выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств,

логарифмических неравенств, в которых используют потенцирование обеих частей неравенства.
В

частности:
● Если число a >1, то

Слайд 35 ● Если число 0 < a < 1,

● Если число 0 < a < 1, тоВ частности:● Если

то
В частности:
● Если число a >1, то
● Если число

0 < a < 1, то

Слайд 36 Пример 10. Решите неравенство
log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)

Решение. Так как основание 0,1

Пример 10. Решите неравенствоlog0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в

логарифмов, стоящих в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию
0

< 0,1 < 1, то, используя схему (19), получаем, что данное неравенство равносильно системе

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Слайд 37 Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные

Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим, что

переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств
В

соответствии со схемой (17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

Слайд 38 На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

системы неравенств.

Слайд 39 Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство
Решение. В соответствии

Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенствоРешение. В соответствии с определением логарифма,

с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл

при выполнении условий:

Слайд 40 Так как при допустимых значениях переменной x по

Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы

свойствам логарифма справедливы равенства:
то исходное неравенство приводится к виду
Последнее

неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве

Слайд 41 С учетом области определения данного неравенства
получаем ответ.

С учетом области определения данного неравенстваполучаем ответ.

Слайд 42 Неравенства, содержащие выражения с модулями
Пример 13. (МИЭТ, 2002).

Неравенства, содержащие выражения с модулямиПример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Решите неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Слайд 43

Слайд 44 Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с

Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются

модулями, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл

и свойства.

Слайд 45 Пример 14. Решите неравенство
Решение. Используя схему (20) получаем,

Пример 14. Решите неравенствоРешение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство

что данное неравенство равносильно системе неравенств
или после приведения подобных

членов

Слайд 46 Пример 15. Решите неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно следующему
Используя

Пример 15. Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно следующемуИспользуя схему (23), получаем,

схему (23), получаем, что это неравенство, а значит и

исходное, равносильно совокупности неравенств

Слайд 47 Пример 16. Решите неравенство
Решение. Используя схему (22), получаем,

Пример 16. Решите неравенствоРешение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство

что данное неравенство равносильно совокупности неравенств
Используя схемы (20) и

(22), получаем, что эта совокупность равносильна следующей.

Слайд 48 Для решения неравенств вида:
где символ \/ заменяет один

Для решения неравенств вида:где символ \/ заменяет один из знаков неравенств:

из знаков неравенств: применяют метод промежутков. Для этого находят

ОДЗ неравенства, определяют точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корни совокупности уравнений

Слайд 49 На каждом из промежутков, на которые найденные точки

На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции,

разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный

знак. Поэтому исходное неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному.

Пример 17. Решите неравенство

Решение. Решением совокупности

являются числа 1 и 2.

Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка

Слайд 50 Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений

Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля

под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из

этих промежутков

+

_

Если x<1, то исходное неравенство равносильно неравенству - x +1- x + 2 > 3 + x , x < 0 . Получаем, что x < 0 есть решение исходного неравенства на рассматриваемом промежутке.
Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x <-2 . Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Слайд 51 Если , то исходное неравенство равносильно неравенству
x -1+ x

Если , то исходное неравенство равносильно неравенствуx -1+ x - 2 >

- 2 > 3+ x , x > 6

.
Получаем, что x > 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемом
промежутке.
Объединяя полученные решения, запишем ответ.

Слайд 52 Расщепление неравенств
Если левая часть неравенства представляет собой произведение

Расщепление неравенствЕсли левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а

двух выражений, а правая часть равна нулю, то схема

решения неравенства опирается на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.

Слайд 53

Слайд 54 Пример 18. Решите неравенство
Решение. Приведем данное неравенство к

Пример 18. Решите неравенствоРешение. Приведем данное неравенство к следующему виду:В соответствии

следующему виду:
В соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности

систем (I) и (II):

Слайд 55 Решим каждое неравенство системы (I).
Для неравенства (1) имеем:
Для

Решим каждое неравенство системы (I).Для неравенства (1) имеем:Для неравенства (2) имеем:

неравенства (2) имеем:

Слайд 56 Значит все значения x принадлежат (0; 1] –

Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).Найдем

решения системы (I).
Найдем решение системы (II). Для неравенства (3),

используя решение (1), имеем:

Слайд 57 Значит все значения – решения системы (II).
Объединяя решения систем

Значит все значения – решения системы (II).Объединяя решения систем (I) и (II),

(I) и (II), получаем ответ.
Для неравенства (4), используя решение

(2) и учитывая ограничения

имеем:

  • Имя файла: metody-resheniya-neravenstv-s-odnoy-peremennoy-tipovye-zadaniya-s3-1.pptx
  • Количество просмотров: 140
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Безударные гласные в корне слова
Следующая - Фотосинтез 6 класс

Похожие презентации

Презентация по математике на тему Способ деления на 5 Презентация по математике на тему Способ деления на 5 104
презентация к уроку окружающий мир 2 класс УМК Школа России тема: Какие бывают растения? презентация к уроку окружающий мир 2 класс УМК Школа России тема: Какие бывают растения? 100
Презентация к уроку Разложение разности квадратов на множители Презентация к уроку Разложение разности квадратов на множители 97
Решение задач Решение задач 121
презентация по математике Решение задач в 2 действия презентация к уроку по математике (1 класс) по теме презентация по математике Решение задач в 2 действия презентация к уроку по математике (1 класс) по теме 43
Презентация по математике на тему Деление десятичных дробей(5 класс) Презентация по математике на тему Деление десятичных дробей(5 класс) 90
Интерактивная презентация Чего не хватает презентация по математике Интерактивная презентация Чего не хватает презентация по математике 95
Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ Площади ФИГУР и объемОВ ТЕЛ Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ Площади ФИГУР и объемОВ ТЕЛ 111
Математика материал по математике (подготовительная группа) Математика материал по математике (подготовительная группа) 142
Урок математики во 2 классе план-конспект урока по математике (2 класс) по теме Урок математики во 2 классе план-конспект урока по математике (2 класс) по теме 143
Презентация к уроку математика Устный счет 3 класс система Л.В.Занкова презентация урока для интерактивной доски по математике (3 класс) по теме Презентация к уроку математика Устный счет 3 класс система Л.В.Занкова презентация урока для интерактивной доски по математике (3 класс) по теме 139
Презентация по математике на тему Решение задач с помощью пропорций. Презентация по математике на тему Решение задач с помощью пропорций. 116
Открытый урок по математике в 1 классе 2-ая четверть Закрепление изученного план-конспект урока по математике (1 класс) по теме Открытый урок по математике в 1 классе 2-ая четверть Закрепление изученного план-конспект урока по математике (1 класс) по теме 153
Математический лабиринт Математический лабиринт 154
ПРЕЗЕНТАЦИЯ презентация урока для интерактивной доски по математике (подготовительная группа) ПРЕЗЕНТАЦИЯ презентация урока для интерактивной доски по математике (подготовительная группа) 105
Решение логарифмических уравнений и неравенств. Решение логарифмических уравнений и неравенств. 98
Умножение чисел, оканчивающихся нулями 4 класс Умножение чисел, оканчивающихся нулями 4 класс 125
Умножаем на 2 электронный образовательный ресурс по математике (2 класс) Умножаем на 2 электронный образовательный ресурс по математике (2 класс) 87
Презентация по математике на тему Запись и название трёхзначных чисел (3 класс) Презентация по математике на тему Запись и название трёхзначных чисел (3 класс) 148
Подготовка учащихся к школьным математическим олимпиадам. Подготовка учащихся к школьным математическим олимпиадам. 162
Упрощение выражений 5 класс Упрощение выражений 5 класс 146
Математические сказки для дошкольников учебно-методический материал по математике (подготовительная группа) Математические сказки для дошкольников учебно-методический материал по математике (подготовительная группа) 146
Презентация к уроку: Отношения эквивалентности и порядка Презентация к уроку: Отношения эквивалентности и порядка 165
Презентация по геометрии Касательная к окружности Презентация по геометрии Касательная к окружности 146
Презентация Умножение положительных и отрицательных чисел Презентация Умножение положительных и отрицательных чисел 130
Дидактическая игра по ФЭМП во второй младшей группе Путешествие на паровозике презентация урока для интерактивной доски по математике (младшая группа) Дидактическая игра по ФЭМП во второй младшей группе Путешествие на паровозике презентация урока для интерактивной доски по математике (младшая группа) 154
Урок математики в 1 классе по теме: Число 3. Письмо цифры 3. Урок математики в 1 классе по теме: Число 3. Письмо цифры 3. 128
Интерактивный тренажёр Сердечки по теме Состав чисел Интерактивный тренажёр Сердечки по теме Состав чисел 95
Статистические исследования 5 класса МОУ Арылахская общеобразовательная школа Статистические исследования 5 класса МОУ Арылахская общеобразовательная школа 108
Презентация по математике Площадь- S Презентация по математике Площадь- S 98