Слайд 2
Понятие множества.
Георг Кантор (1845-1918)
Профессор математики и философии, основоположник
современной теории множеств.
«Под множеством мы подразумеваем объединение в целое
определённых, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления». Георг Кантор
Слайд 3
Понятие множества.
Основное понятие в математике - понятие множества.
Понятие множество относится к первоначальным понятиям, не подлежащим определению.
Под множеством подразумевается некоторая совокупность однородных объектов.
Предметы ( объекты), составляющие множество, называются элементами.
Слайд 4
Обозначение множества
Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,
B, C, X и др.
Элементы множества обозначаются строчными буквами
латинского алфавита : a, b, c, d и др.
Запись M = { a , b, c, d } означает, что множество М состоит из элементов a , b, c, d.
Є – знак принадлежности. Запись а є М обозначает, что объект а является элементом множества М и читается так:
« а принадлежит множеству М »
Слайд 5
Численность множества
Численность множества- число элементов в данном множестве.
Обозначается
так : n
Записывается так : n (М) = 4
Множества
бывают:
Конечные множества- состоят из конечного числа элементов, когда можно пересчитать все элементы множества.
Бесконечные множества- когда невозможно пересчитать все элементы множества.
Пустые множества- множества, не содержащие элементов и обозначают так: Ø . Записывают так: n (A)=0 ; A= Ø
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Слайд 6
Виды множеств:
Дискретные множества(прерывные)- имеют отдельные элементы. Путём счёта
распознаются.
Непрерывные множества- нет отдельных элементов. Распознаются путём измерения.
Конечные множества-
состоят из конечного числа элементов, когда можно пересчитать все элементы множества.
Бесконечные множества- когда невозможно пересчитать все элементы множества.
Упорядочные множества. Элемент из множества предшествует или следует за другим. Множество натуральных чисел, расположенных в виде натурального ряда.
Неупорядочные множества. Любое неупорядочное множество можно упорядочить.
Слайд 7
Обозначения некоторых числовых множеств:
N
– множество натуральных чисел;
Z – множество
целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Слайд 8
Способы задания множеств
Перечислением элементов (подходит для конечных
множеств).
Указать характеристическое свойство множества, т.е. то свойство, которым обладают
все элементы данного множества.
С помощью изображения :
На луче
В виде графика
С помощью кругов Эйлера. В основном используется при выполнении действий с множествами или демонстрации их отношений.
Слайд 9
Подмножество
Если любой элемент множества В принадлежит множеству А,
то множество В называется подмножеством множества А.
- Знак включения.
Запись В А означает,
что множество В является подмножеством множества А.
Слайд 10
Виды подмножеств
Собственное подмножество. Множество В называется собственным подмножеством
множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В≠А.
Не собственные подмножества.
Множество В называется не собственным подмножеством множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В=А.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Любое множество является подмножеством самого себя.
Слайд 11
А
В
А=В
Равенства множеств
Множества равны, если они состоят из одних
и тех же элементов.
Два множества являются равными , если
каждый из них является подмножеством другого.
В этом случае пишут: А=В
Слайд 12
Операции над множествами
Пересечение множеств.
Объединение множеств.
Разность множеств.
Дополнение множества.
Слайд 13
Объединение множеств
Объединением множеств А и В называется множество
всех объектов, являющихся элементами множества А или множества В.
U-
знак объединения.
А U В читается так:
«Объединение множества А и множества В».
Слайд 14
Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называется множество,
содержащее только те элементы, которые одновременно принадлежат и множеству
А и множеству В.
∩-знак пересечения, соответствует союзу «и».
А ∩ В читается так:
«Пересечение множеств А и В»
Слайд 15
Разность множеств
Разностью множеств А и В называется множество
всех объектов, являющихся элементами множества А и не принадлежащих
множеству В.
\ - знак разности, соответствует предлогу «без».
Разность множеств А и В записывается так: А \ В
Слайд 16
Дополнение множества
Множество элементов множества В, не принадлежащих множеству
А, называется дополнением множества А до множества В.
Часто множества
являются подмножествами некоторого основного, или универсального множества U.
Дополнение обозначается Ā
Слайд 17
Свойства множеств
Пересечение и объединение множеств обладают свойствами:
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Слайд 18
Ассоциативность
( А ∩ В ) ∩ С =
А ∩ ( В ∩ С )
( А U
В ) U С = А U ( В U С )
Слайд 19
Коммутативность
А ∩ В = В ∩ А
А U
В = В U А
Слайд 20
Дистрибутивность
( А U В ) ∩ С =
(А ∩ С ) U ( В ∩ С
)
( А ∩ В ) U С = (А U С ) ∩ ( В U С )
Слайд 21
Отношения множеств
В теории множеств рассматриваются отношения между множествами:
Тождественность.
Если каждый элемент множества А является также и элементом
множества В , и каждый элемент множества В есть также элементом множества А, то эти множества тождественны. Обозначается так : А=В.
Эквивалентность. Соответствие между элементами множеств А и В, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и наоборот, различным элементам одного множества соответствуют различные элементы другого множества, называется взаимно однозначными. Если существует, по крайней мере, одно взаимно однозначное соответствие между элементами множеств А и В, то такие множества называются эквивалентными.
