Презентация на тему Перпендикулярность в пространстве (10 класс)

если угол между ними равен 900.
a
b
c
Перпендикулярные прямые a

к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Параллельные прямые,
перпендикулярные

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a
a1
x
α

параллельны.

в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Рассмотрим прямую

a

.

q

O

α

m

p

Докажем, что a перпендикулярна α. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α.

О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой

l

m

.

O

α

Отметим на прямой а точку А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
Будем считать, для определенности, что точка Q лежит между точками P и L.

а

А

В

р

q

P

Q

L

перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и

Сравним ∆APL и ∆BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AP = BP, PL – общая сторона, угол APL = углу BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольники ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l перпендикулярна к а. Так как l ║ m и l перпендикулярна а, то m перпендикулярна а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т. е. а перпендикулярна α.