Презентация на тему Понятие функции

аналитический способ задания функции
табличный способ задания функции
способ

описания функции
графический способ задания функции
область определения функции
область значения функции
четность нечетность функции
возрастание и убывание функции
точки минимума и максимума функции

величины Х и Y связаны функциональной зависимостью, если каждому

значению, которое может принимать переменная Х, соответствует одно и только одно значение переменной Y.
Переменная Х называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная Y – зависимой переменной или функцией.
Записывают соотношение между Х и Y в общем виде так: y=f(x) или y=y(x)

1692 году у Лейбница и употреблялся в узком смысле

(различные отрезки, связанные с кривой – например, абсциссы её точки). Современное понятие функции, как выражения зависимости одних переменных величин от других сформировалось в первой половине 19 века благодаря исследованиям таких крупных математиков, как Лобачевский, Дирихле, Фурье. Одним из важнейших достижений в области математического анализа в 19 веке стало рождение теории аналитических функций (Огюсте Коши) и функции комплексного переменного.

История создания названия функции

Г.В.Лейбниц

задается формулой, позволяющей получить значение зависимой переменной (Y),подставив конкретное

числовое значение аргумента (Х).
Если произвольное двузначное число обозначить буквой Х, а соответствующий ему квадрат числа – буквой Y, то эту функцию можно задать формулой Y=Х², где Х – двузначное число.
Значения переменной Y зависят от значения переменной Х, в то время как значения Х являются независимыми. Поэтому переменную Х называют независимой переменной, а Y – зависимой переменной. Независимую переменную называют также аргументом, а зависимую – функцией.

ПРИМЕР 1: Y=X²

этом способе задания функции заполняется таблица, в верхней строке

которой значения независимой переменной (Х), в нижней – соответствующие значения зависимой переменной (Y).
Таблицы значений чаще составляют для построения графиков функций, заданных формулами. При этом для нескольких, произвольно выбранных, значений независимой переменной вычисляют соответствующие значения зависимой переменной.

ПРИМЕР 1: Y=X²

помощью естественного языка.
Например: «Каждому отрицательному числу

соответствует -1,нулю – число 0, а каждому положительному – число 1».
Обычно эту функцию обозначают так: Y=sign X (читают: «Игрек равен сигнум Х»). Латинское слово signum переводится как «знак» и указывает знак числа. Эту функцию можно задать так:
-1, если Х<0
Y= 0, если Х=0
1, если Х>0

функции – это множество тех и только тех точек

(X;Y) координаты которых обращают уравнение Y=f(x) в верное равенство.
График функции позволяет не только с его помощью находить значения функции, но и видеть многие её свойства: в каких точках функция обращается в нуль, на каких промежутках она принимает отрицательные или положительные значения, где она возрастает или убывает и др.

ПРИМЕР 1: Y=X²

Функция: Y=X³

Функция: Y=³√х

называется множество всех действительных значений независимой переменной х ,

при которых функция определена (имеет смысл).
Обозначение: D(f) (англ. Define – определять).

Пример: Найдите область определения функции
Y=log0,5(3-2x)
Решение: По определению логарифма получаем 3-2х>0, следовательно, 3>2x, т.е. x<1,5. Значит (-∞; 1,5)

Y=f(x) называется множество всех действительных значений, которые принимает зависимая

переменная Y.
Обозначение E(f) (англ.exist-существовать).
Пример: Найдите область значений функции
f(x)=-5cosX
Решение: Областью значений функции y= cos x является промежуток [-1;1], т.е. -1≤cos x≤1. Умножая все члены неравенства на -5 и меняя знак неравенства на противоположный, получаем: -5≤-5cos х≤5

область определения функции Y=2х/х-3. Решение: На нуль делить нельзя,

то Х-3≠0, а Х≠3 (т.к. при Х=3 выражение не имеет смысл). Значит D(у)=(-∞;3)U(3;∞).
Пример 2: Найдите область значений функции Y=7sinX. Решение: Областью значений Y=7sinХ является промежуток [-1;1], т.е. -1≤sinХ≤1. Умножая все члены неравенства на 7 получаем -7≤7sinХ≤7.

называют чётной (соответственно нечётной), если её график симметричен относительно

оси ординат (соответственно начала координат).
Функцию f называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве X, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Функция возрастает

на промежутке (-∞;0)
и убывает на промежутке (0;+∞).

Пример: Определите какая из функций
является четной
f(x)=3cos³х+5sin²x или f(x)=9х³-sin x + x
Решение: f(-х)=9(-х)³-sin(-х)+(-х)=-9х³+sin х–х =
=-(9х³-sin х + х) ,
т.е. f(x)=-f(x). Значит функция f(х)=9х³-sin х + х является нечетной
f(-х)=3cos³(-x)+5sin²(-x)=3cos³x+5sin²x
т.е. f(х)=f(х). Значит функция f(х)=3cos³х+5sin²х является четной