Слайд 2
Георг Пик
Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899г.
Слайд 3
Краткая Биография.
Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в
еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.
Георга,
который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов».
В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.
С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
Слайд 4
Формула Пика
В-количество целочисленных точек внутри многоугольника.
Г-количество целочисленных точек
на границе многоугольника.
S=В+Г/2-1
Формула выполняется, если вершины многоугольника находятся
в точках целочисленной решётки.
Слайд 5
Доказательство Теоремы Пика.
Центральное место в наших рассуждениях будет занимать следующий факт.
Если два данных многоугольника с вершинами в точках целочисленной решетки составляют один многоугольник, то соответствующие им числа R1 и R2 связаны с числом R для многоугольника, составленного из двух данных, равенством R = R1+R2
Слайд 6
Доказательство Теоремы Пика.
Сначала заметим, что формула Пика верна
для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем
В=0, Г=4, S=В+Г/2-1=1
Слайд 7
Доказательство Теоремы Пика.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на
линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем
в этом случае
В= (a-1)(b-1), Г= 2a+2b, по формуле Пика S= (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab
Слайд 8
Доказательство Теоремы Пика.
Слайд 9
Доказательство Теоремы Пика.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно
получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно,
прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
Слайд 10
Решётки. Узлы.
Узлы на гранях многоугольника – Зелёные.(Б)
Внутренние узлы
многоугольника – Оранжевые (Г)
Слайд 11
Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7(Синие
точки), поэтому S=В+Г/2-1=23+2,5=25,5 квадратных единиц.
Пример.
Слайд 15
Задачи
№1
Найдите площадь четырёхугольника АВСD
Решение. По формуле Пика: S
= В +Г/2-1
В = 5,
Г = 7
S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².
