Слайд 2
Exit
Логарифмы в истории
Логарифм
Логарифмическая функция f(x)=logax
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Слайд 3
Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний,
которая связана не только с математикой, но и, казалось
бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой.
Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита".
1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны).
2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.
Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем , которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.
Слайд 4
Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так,
в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212 гг. до
н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а2... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: am*an = am+n.
Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".
Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).
Слайд 5
Что такое логарифм?
logab=c Û ac=b
Основное логарифмическое тождество
Слайд 6
Основные свойства логарифмов
1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен
сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1
+ loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).
2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство
примет вид (a > 0, a ≠ 1,
N1N2 > 0).
Слайд 7
3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя
степени на логарифм этого числа:
loga N k =
k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
4) Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0),
в частности, если b = c, получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).
Слайд 8
5) Из вышеуказанных свойств вытекают следующие формулы:
Слайд 10
Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
При
a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0
loga x1 < loga x2), а при 0 logax1>logax2).
loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+ ), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+ ).
Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.
Слайд 12
2) loga f(x) = loga g(x)
Уравнение, содержащее
неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,
называется логарифмическим уравнением.
Логарифмические уравнения
Решением является x=ab
f(x)= g(x),
g(x)>0,
f(x)>0.
f(x)= g(x),
g(x)>0,
f(x)= g(x),
f(x)>0.
Слайд 13
4) logh(x) f(x) = logh(x) g(x)
Потеря решений при
неравносильных переходах
loga f(x) = loga g(x) f(x)
= g(x)
Слайд 14
Методы решения логарифмических уравнений
Использование определения логарифма
logab = c
Û b = ac
Пример
log2(5 + 3log2(x
- 3)) = 3
Решение
5+3log2(x-3)=23 Û log2(x - 3) = 1 Û x=5
Слайд 15
Методы решения логарифмических уравнений
Использование свойств логарифма
logab =
c Û b = ac
Пример
log3x +
log3(x + 3) = log3(x + 24),
Решение
О.Д.З.: x>0,
x(x+3)=x+24 Û x2 + 2x - 24 = 0 Û x={-6;4} Û
x>0
Û x=4
Слайд 16
Методы решения логарифмических уравнений
Метод подстановки
f(logax)=0 Û t=logax
f(t)=0
Пример
lg2x - 3lgx +
2 = 0
Решение
lg x = t lgx=1
t2-3t+2=0 Û lgx=2 Û x={10;100}
Слайд 17
Пример
5lgx = 50 - xlg5 5lgx =
50 - 5lgx 5lg x = 25
x=100
Слайд 18
Методы решения логарифмических уравнений
Уравнения, содержащие выражения вида
Пример
Решение
log2(x+2)=t,
t2-t-2=0.
Слайд 19
Методы решения логарифмических уравнений
Метод оценки левой и правой
частей
Пример
log2 (2x – x2 + 15) = x2
– 2x + 5.
Решение
1) 2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = –((x2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1)2)£ 16 log2 (2x – x2 + 15) £ 4.
2) x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ³ 4;
log2 (2x – x2 + 15)=4,
x2 – 2x + 5 =4.
x=1
Слайд 20
Методы решения логарифмических уравнений
Использование монотонности функций. Подбор корней.
Пример
log2 (2x – x2 + 15) = x2 –
2x + 5.
Решение 2x–x2+15=t, t>0
x2–2x+5=20–t
log2t=20-t
y=log2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1
Слайд 21
1) loga f(x) > loga g(x)
Неравенство, содержащее
неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,
называется логарифмическим уравнением.
Логарифмические неравенства
f(x)>g(x)>0,
a>1.
002) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
f(x)>g(x)>0,
h(x)>1.
00
Слайд 22
3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0,
h(x)>0,
f(x)>0,
g(x)>0.
4) f(logax)>0
t=logax,
f(t)>0.
Слайд 23
Методы решения логарифмических неравенств с переменным основанием
Быстрое избавление
от логарифмов
Пример
log2x(x2-5x+6)
x(0;1/2)(1;2) (3;6)
x2-5x+6>0,
x>0.
Слайд 24
Правило знаков
Очевидно, что lg x, как и loga x по
любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и
число x – 1.
В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10:
Таким образом, знак величины loga x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1) или (x – 1)(a – 1).
1
Слайд 25
Пример
log2x(x-4) logx-1(6-x)0,
x>0, x≠1/2,
x>1,x-1≠1.
x(4;5)(5;6)
