Презентация на тему Точечные оценки

{x1, x2, ... , xn} можно назвать n-мерной

случайной
величиной. Любая функция от этой величины называется статистикой.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения
называют функцию от наблюдаемых случайных величин (т.е. статистику),
которая его описывает.

Оценку, которая определяется одним числом, называют точечной.

Например:




Чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых
параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям,
которые мы рассмотрим далее.

Статистическая оценка

теоретического распределения f(x), описывающего случайную величину Х.

Допустим, по выборке

объёма n найдена оценка Θ*1 .

Повторим опыт – из генеральной совокупности извлечём ещё одну выборку
объёма n и получим оценку Θ*2 .

Извлекая выборку многократно, получим набор РАЗЛИЧНЫХ статистических
оценок Θ*1, Θ*2, ... , Θ*k .

Здесь мы можем рассматривать Θ* как случайную величину,
а множество { Θ*1 , ... , Θ*k } тогда будет набором её возможных значений.

Для этой случайной величины можно ввести те же самые вероятностные
параметры, что и для обычной случайной величины Х : среднее, дисперсию...
при этом Θ сама, как параметр, может быть средней (например, для Norm(a,σ) ).

Оценка как случайная величина

увеличении
объёма выборки n → ∞ стремится по вероятности

к оцениваемому параметру.
Требование состоятельности предъявляется при рассмотрении больших выборок.


2. Несмещённая статистическая оценка – это оценка, у которой мат. ожидание
равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки:


Соблюдение этого требования гарантирует отсутствие систематических ошибок.
Если у несмещённой Θ при , то оценка ещё и состоятельная.
Смещённая статистическая оценка – это оценка, у которой наоборот : M(Θ*) ≠ Θт

Эффективная статистическая оценка – это оценка, которая при заданном объёме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию :

Требования к оценкам статистических параметров

варианты-значения встречаются:
х1 - n1 раз, х2

- n2 раз ... хm - nm раз.
Среднее арифметическое всех результатов будет равно:



Так как при выборке число Х мы выбираем случайно, то полагаем, что все эти
варианты-значения равновероятны. Тогда согласно классическому определению
вероятности относительная частота варианты ωi = ni / n = P(xi) - вероятность вытащить
её из генеральной совокупности.

То есть:

или что то же самое:

Генеральная средняя = мат. ожидание!

выборочной совокупности ( также обозначается х̅n ).











Среднее абсолютное отклонение

Θ (ср. арифметическое абсолютных отклонений):

Оценка Θ* : Выборочная средняя

достаточно большого объёма
из одной и той же генеральной

совокупности будут найдены выборочные средние,
то они будут приближённо равны между собой.




Вынос мозга (текст только для самых-самых умных):

оценки:





х̅В - эффективная? Будет ли её дисперсия являться минимальной?

Не всегда! Дисперсия оценки:

Требования к оценке Θ* = XВ

В случае нормального
распределения это
действительно минимум
по сравнению с другими оценками Θв.

генеральной дисперсией:
Генеральная дисперсия

выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

Оценка Θ* :

Выборочная дисперсия

известной формуле:



DВ - смещённая! мат. ожидание оценки: т.е. при использовании

этой оценки будет возникать систематическая ошибка в меньшую сторону! потому что M(DВ) < D(X).

DВ - эффективная? Будет ли её дисперсия являться минимальной? Нет. Даже в случае нормального распределения. Однако при n → ∞ её мат. ожидание асимптотически приближается к D(X), поэтому выборочная дисперсия является асимптотически эффективной.

посчитаем мат.ожидание это дисперсии:
Вывод мат. ожидания DВ
страшно?

точечной оценкой:




Т.е. разница между выборочной дисперсией и исправленной лишь

в множителе:




На практике используют исправленную дисперсию, если n < 30.

Оценка генеральной дисперсии
по исправленной выборочной

7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6,

3, 4, 3, 5, 6, 6, 5, 5, 4, 4

построить:
1. дискретный вариационный ряд
2. многоугольник частот
3. график выборочной функции распределения
4. найти выборочное среднее
5. найти выборочную дисперсию

Задача 1

следовательно объем выборки n = 20.
Составляем ранжированный ряд:
1,

2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7.

Выделяем варианты и их частоты xi(ni) :
1(1), 2(2), 3(3), 4(4), 5(5), 6(3), 7(2).
Вариантов всего 7, поэтому будем строить дискретный ряд.

Находим частоты по формуле:

Решение задачи 1

задачи 1

Находим выборочную дисперсию:
Решение задачи 1

генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп.
Разбиение статистической совокупности

на группы

Генеральная совокупность объёма n:
общее среднее x̅ , общая дисперсия Dобщ

группа 1

группа 2

группа m

... j

Группа номер j объёма Nj:
групповая средняя x̅j ,
групповая дисперсия Dj

Внутригрупповая дисперсия:
(среднее групповых дисперсий)


Межгрупповая дисперсия:
(дисперсия групповых средних)

состоящей из трёх групп:

первая группа:



вторая группа:



третья группа:

и Y
сведены в корреляционную таблицу.

Можно считать, что наблюдаемые

Y разбиты
на группы, соответствующие отдельным Х.

Тогда условные средние можно назвать
групповыми средними.

Общая дисперсия в этом случае может быть
представлена в виде суммы дисперсий:

Можно доказать, что:

если Y связан с Х функциональной зависимостью, то

если Y связан с Х корреляционной зависимостью, то

(функциональная зависимость является крайним случаем вероятностной).

– выборочное корреляционное отношение Y к Х.

математическое ожидание величины Хk :

Центральный момент порядка k случайной

величины Х
это математическое ожидание величины (Х - M(X))k :

Начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными
оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов.

Асимметрия эмпирического распределения:
as > 0 (< 0), если правый хвост распределения длиннее (короче) левого.

Эксцесс эмпирического распределения:
ek > 0 (< 0), если пик возле мат. ожидания острый (гладкий).

Ассиметрия и Эксцесс

Логнормальное распределение:
X ~ LN(a,σ2) =>
=> ln(X) ~ N(a,σ2)

Пирсоном)

такую выборку!

плотности распределений вероятности величин х.

Точечная оценка Θ – случайная величина?
Состоятельная статистическая оценка
Несмещённая статистическая

оценка
Эффективная статистическая оценка
Как связана генеральная средняя с мат. ожиданием признака?
Выборочная средняя
Свойство устойчивости выборочной средней
Среднее абсолютное отклонение
Является ли выборочная средняя состоятельной?
Является ли выборочная средняя несмещённой?
Является ли выборочная средняя эффективной?
Генеральная дисперсия
Выборочная дисперсия
Генеральное и выборочное среднее квадратическое отклонение

Вопросы для контроля усвояемости предмета (стр1)