Презентация на тему 2. Определенный интеграл

(f, , ) при ()  0; если для

любого положительного числа  > 0 можно указать такое положительное число , что для любого разбиения  отрезка [a, b] , диаметр разбиения которого меньше : () < , независимо от выбора точек i на отрезках [xk,xk+1], выполняется неравенство
| (f, , ) - I| < .

на отрезке [a, b] , если существует конечный предел

I интегральных сумм этой функции при ()  0. Указанный предел I называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается следующим образом:

Ограниченность функции не гарантирует ее интегрируемость по Риману

определена на [a, b] и ={a=x0< x1

отрезка [a, b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма


Верхней суммой Дарбу называется сумма

1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение

2 следует за разбиением 1 (или 2 является размельчением 1), при этом пишут 1 < 2 .

набора промежуточных точек  имеют место соотношения
s(f, ) 

( f,,)  S(f,).
2) Если 1 < 2 два разбиения данного отрезка, то
s(f,1)  s(f,2) , S(f,2)  S(f,1) .
3) Для любых разбиений 1 ,2 данного отрезка справедливо неравенство
s(f,1)  S(f,2).
4) Множество {S} верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений отрезка [а, b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

[а, b] получено из разбиения  добавлением к последнему

р новых точек, и пусть s*, S*
и s, S — соответственно нижние и верхние суммы разбиений 1 и . Тогда для разностей S  S* и s*  s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины  частичных сегментов разбиения , числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на отрезке [а, b]. Именно,
S – S*  (M - m)p, s* - s  (М - m)р.
6) Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу от функции f(x) на отрезке [а, b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при   0.