Презентация на тему ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ4 часа

разложение сигналов в обобщённый ряд Фурье:
(1)
где
φj(t) – бесконечная система

попарно ортогональных на отрезке [а, b] функций:

при n ≠ m;

Обобщенный ряд Фурье при заданной системе функций φn(t) и при фиксированном числе слагаемых ряда обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума СКО) данной функции х(t).

функции вида:
то ряд (1) называется рядом Фурье:
где
– частота

T – период функции x(t).

Периодическую функцию x(t) можно представить суммой гармоничес-
ких колебаний с частотами, кратными основной частоте f1 = 1/T

с амплитудами Аk и начальными фазами φk.

...) образует амплитудный спектр, а совокупность фаз φk (k

Амплитудный спектр периодического сигнала

Спектр непериодического сигнала – сплошной и определяется
интегралом Фурье – спектральная плотность сигнала.

характеристики являются чётными функциями частоты, следовательно:
где
и
– СПЭ и СПМ,

положительных частотах.

– взятия отсчётов первичного сигнала s(t) в определённые дискретные

которого ограничен сверху частотой Fв, полностью опреде- ляется отсчетами

Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию s(t) в виде ряда Котельникова:

– базисная функция отсчётов.

Ряд Котельникова точно определяет функцию s(t) в точках отсчета (коэффициентами ряда являются сами выборки из функции s(k∆t)) и определяет функцию s(t) в любой момент t.

её пере-
множения на периодическую последовательность -импульсов
u(t) с

риодом спектр которой является дискретным:

sд(t) = s(t)u(t) =

– дискретный сигнал,

– спектр дискретизированного сигнала sд(t),

– спектр исходного сигнала s(t).

Т = t,

сигнала по последовательности отсчетов осуществляется путем формирования для каждого

с соответствующей амплитудой

и последующим суммированием всех функций.

является идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ) с АЧХ и

ИХ характеристиками, представленными на рис.

АЧХ (а) и ИХ (б) ИФНЧ

точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром,

2. Вторая причина возникновения погрешностей – неидеальность восстанавливающего ФНЧ:

Вывод: чем выше

и чем ближе характеристики

восстанавливающего

ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

функция, значения параметров которой в любой момент времени заранее

Реализация случайной функции –

вид случайной функции в конкрет-

ном испытании x(i)(t).

Случайная величина – значение случайной функции в конкретный момент времени

Xk = {x(i)(tk)}.

СП X(t) распределение вероятностей в заданном сечении t1 характеризуется

или интегральной функцией распределения (ИФР) F(x):

Типовые графики одномерных ПВ (а) и ИФР (б)

величины

реализаций значение случайного процесса; физический смысл – среднее значение

Дисперсия

– стандартное или среднеквадратическое отклонение значений СП от математического ожидания, характеризует разброс СВ относительно МОЖ; физический смысл – мощность переменной составляющей СП; размерность – квадрат СП.

Функция корреляции – характеризует статистическую связь между значениями СП в моменты времени t1 и t2, разделённые интервалом τ = t2 - t1:

и быстро (2) убывающими связями
Функция взаимной корреляции –

2. Bх(t1,t2) = Bх(τ).
3. ФК действительная и чётная Bх(τ)

4. Bх(τ = 0) = Bх(0) = σх2 = Р~ – мощность переменной составляющей СП.

5. Bх(τ) ≤ Bх(0).

6. Для статистически независимых сечений Bх(t1,t2) = 0.

7. Коэффициент корреляции

двумя сечениями, при котором значения СП можно считать некоррелирован-

9. Взаимная ФК двух процессов X(t) и Y(t) равна:

10. ФК суммы независимых СП Z(t) = X(t) + Y(t) равна:

параметрами: m1 и σх2.
Свойства нормального СП:
1) ПВ положительная
2)

x = m1;

3)

4)

При изменении m1 кривая без изменения формы смещается вдоль оси х;

5)

6) Чем больше дисперсия

тем меньше величина максимума ПВ

и тем она шире.

– интеграл вероятности, неэлементарная табули-
рованная функция, вероятность того,

р(x1 ≤ X ≤ x2) =

.

виде действи- тельной или мнимой части комплексного сигнала

– преобразования Гильберта,

является обобщением символического метода.

Экспоненциальная форма записи сигнала

– огибающая сигнала,

– полная мгновенная фаза,

– мгновен-

ная начальная фаза,

– мгно-

венная частота.

сигналы
Видеосигналы – спектр сосредоточен в области низких частот от

А(t) и ψ – огибающая и фаза радиосигнала, φ0 – начальная фаза, ω0 = 2πf0 – несущая частота,

А(t) – огибающая в виде линии, касательной к точке максимума исходной функции и, в случае гармонического сигнала, соединяющей два соседних максимума кратчайшим путём.

сигнал s(t) (1), с учётом
можно представить в
при
суммы

в виде

– амплитуды соответственно

косинусной и синусной составляющих колебания,

φ(t) = – arctg

Для отыскания ПВ

и

требуется знание соответствующих

ПВ

и

а также

(2)

и
в один и тот же момент времени являются
независимыми

Поэтому совместная

и двумерная ПВ

определяются выражениями:

Плотность вероятности начальной фазы

Начальная фаза узкополосного СП распределена равномерно на отрезке [0, 2π].

< ∞.
Распределение огибающей называется распределением Рэлея.
Максимум значения функция

достигает при

(х = 1)

(наивероятнейшее значение огибающей).

Среднее значение (математическое ожидание) огибающей

дисперсии исходного физического сигнала.
Вероятность того, что огибающая

При

вероятность превышения этого уровня составляет всего

лишь примерно 1%. Поэтому можно считать, что ширина дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа, не превышает (5-6) .

Функция корреляции огибающей узкополосного нормального процесса

R0(τ) – коэффициент корреляции.

их отсчёте в один и тот же момент t.
Вероятность

превысит С

При вероятность р(А > С) ≈ 1%, поэтому можно считать, что ширина дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа, не превышает (5-6) .

Функция корреляции фазы

При τ = 0 ряд сходится к , т.е. дисперсия фазы

– огибающая, медленно изменяющаяся по сравнению с cosω0t.

Интервал корреляции узкополосного СП

ФК узкополосного СП

Вид ФК свидетельстует о том, что отдельные реализации узкополосного СП представляют собой квазигармонические колебания, у которых огибающая A(t) и фаза φ(t) являются СФ, медленно изменяющимися во времени.

совокупность встречающихся сигналов L разбита на ряд множеств, объединённых

Множество гармонических сигналов L = {s; s(t) = A∙cos(ωt + φ), - ∞ < t < ∞} содержит гармонические сигналы с произвольными значениями амплитуд А, частот ω и фаз φ.

Множества сигналов могут образовываться из других, ранее определён- ных множеств, логическими операциями объединения (индекс ) и пере-
сечения (индекс ):

L = S1

S2 = {s; s  S1 или s  S2},

L = S1  S2 = {s; s  S1 и s  S2}.

указываются признак или признаки, отличающие их друг от друга.

d(x, y)

x, y и z – элементы пространства.

– неравенство треугольника,

Так как сигналы x и y представляют собой функции, то – это функционал.

d(x, y)

векторов, соединяющих начало координат с элементом (точкой) пространства. Каждо-му

Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы
1) существует нулевой элемент Ø, что для всех x(t)  L выполняется равенство x(t) + Ø = x(t);

2) для x(t)  L и y(t)  L существует s(t) = x(t) + y(t), s(t)  L . При этом операция суммирования должна быть:

– коммутативна: x(t) + y(t) = y(t) + x(t);

– ассоциативна: x(t) + [y(t) + z(t)] = [x(t) + y(t)] + z(t);

– однородна: x(t) + [– x(t)] = Ø.

y(t) = x(t)

– ассоциативна: α[β·x(t)] = α β ·x(t);

– дистрибутивна: α[(x(t) + y(t)] = αx(t) + α y(t),

(α + β)x(t) = α x(t) + β x(t);

– пропорциональна: 1·x(t) = x(t), 0·x(t) = 0.

В зависимости от значений скаляров линейные пространства могут быть вещественными или комплексными.

α, β, λ, …

В векторном пространстве длина вектора называется его нормой , а
само пространство – нормированным. Свойства нормы:

.

только при x(t) = 0;

, где k любое число;

при x(t)  L и y(t)  L.

Квадрат нормы носит название энергии сигнала:

x(t) и y(t) в пространстве сигналов отражается их скалярным

φ – угол между двумя векторами.

При φ = 0 (cos φ = 1) сигналы совпадают по направлению и расстояние между ними минимальное. При φ = π/2 (cos π/2 = 0) сигналы перпенди-кулярны друг другу, т. е. ортогональны, и проекции сигналов друг на друга равны нулю. При φ = π (cos π = – 1) сигналы противоположны по нап-равлению и расстояние между ними максимально.

Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их различении в демодуляторах и селекции в многоканальных системах.

(3)

произведением (3) называется евклидовым пространством. Совокупность п линейно независимых

определить как множество точек, представленных концами векторов, норма которых равна

Пространство Rn можно

Расстояние между двумя векторами как норма разности векторов

бесконечномерное простран-ство Гильберта L2, в частности, пространство всех непрерывных

Если элементы этого пространства – вещественные сигналы s(t), определённые на интервале , то выполняется условие

L2(T )

для сигналов этого про-странства последнее условие не выполняется, но

и

Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном простран-стве L2(T) определяется соотношениями:

получаемое путём перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного

Пространство Хэмминга. Функция x(t), принимающая на каждом ин-тервале

i∆t одно из т возможных значений

на отрезке дли-

тельностью Т полностью определена значениями или совокуп-ностью коэффициентов , называемый n-на- бором . При m = 2 коэффициенты принимают значения 0 или 1, n-набор представляет собой просто кодовую комбинацию n-значного двоичного кода, отображающую символ передаваемого сообщения.

Двоичные п-наборы отображаются векторами (точками) в простран-стве Хэмминга 2n.