Презентация на тему Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.

«и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем

из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание называют конъюнкцией и обозначают А ∧ B (читают: «А и В»).

Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ∧ В, которое истинно, когда оба высказывание истины, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

на 7 и на 9»,
Решение: данное высказывание состоит

из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.
Данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и».
В обыденной речи конъюнкция также может выражаться, но не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только…, но и …».
Пример: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

союз «или».
Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем

из них с помощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказывание называют дизъюнкцией и обозначают А ∨ В (читают: «А или В»).
Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ∨ В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

на 7 или на 9».
Решение: Так как это

предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.
Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция,

соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логический операция и их результаты (составные предложения) называются одинаково.
Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.
Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1 ∧ А2 ∧ … ∧ ∧ А1 которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.
Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1 ∨ А2 ∨ … ∨ ∨ А1, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.

только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие

операции над высказывательными формами.
Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения Х высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА∧В, то, по всей видимости, ТА∧В = ТА ⋂ ТВ.
Докажем это равенство.
1. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА∧В. По опредлению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(а) ∧ В(а) также истинно. Это означает, что а ∈ ТА и а ∈ Тв. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ∈ ТА ⋂ ТВ. Таким образом, мы показали, что ТА∧В = ТА ⋂ ТВ.
2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА ⋂ ТВ. По определению пересечения множеств это означает, что а ∈ ТА и а ∈ Тв, откуда получаем, что А(а) и В(а) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) ∧ В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) ∧ В(х), т.е. а ∈ ТА∧В. Таким образом, мы доказали, что ТА ⋂ ТВ ⊂ ТА∧В.
Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА∧В = ТА ⋂ ТВ, что и требовалось доказать.
Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

конъюнкции двух неравенств 2х > 10 и 4 +

х <12, т.е. множество истинности предложения 2х > 10 ∧ 4+ х <12. Пусть Т1 – множество решений неравенства 2х > 10, Т2 - множество решений неравенства 4+ х <12. Тогда Т1 = (5, + ∞),
Т2 = (-∞, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т1 ⋂ Т2 = (5, 8).
Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.
Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∨ В(х). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. ТА ∨ В = ТА ∪ ТВ.
Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.
Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)·(х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, тогда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х – 2 = 0 ∨ х = 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} ∪ {-5} = {-5, 2}.
Заметим, что дизъюнкцию уравнение (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) – это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.