Презентация на тему Линейно-Диофантово уравнение

Вместе с тем он был одним из создателей новой

алгебры, основывающейся не на геометрии , а на арифметике.
О подробностях его жизни практически ничего не известно. Но в  Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года.
Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

Алгоритм Евклида.
Алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя  двух целых чисел. Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое  — это остаток от деления предыдущего числа на последующее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть


….


Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   a и , b равен   , последнему ненулевому члену этой последовательности.

19 и 12
1=5-2*2=(12-7)-(7-5)*2=(12-(19-12))-((19-12)-5)*2=(12-(19-12))-((19-12)-(12-7))*2=
(12-(19-12))-((19-12)-(12-(12-(19-12))))*2=12*2-19-(19-12-(12*2-19))*2=
12*2-19-(19-12-12*2+19)*2=12*2-19-(2*19-3*12)*2=12*8-5*19
Получаем решение этого уравнения
X=-5-12n
y=8+19n
Но решать

через алгоритм Евклида довольно сложно и неудобно . Ведь легко можно ошибиться .

НОД(a,b), то уравнение не имеет решений.
Если с делится на

НОД(a,b) , то прежде всего следует упростить это уравнение , разделив его обе части на (a,b).
Чтобы найти решение уравнения при взаимно простых a и b нужно сначала найти решения уравнения , а потом умножить на c.

Очевидно , что данная таблица вытекает из алгоритма Евклида . Она ,можно сказать, упрощенная запись.

НОД(3,5)
5=3+2
3=2+1
2=1*2
НОД равен1 .Все числа- взаимно простые.
Решаем уравнение 3x+5y=1







X=2+5n
Y=-1-3n
Решение начального уравнения x=26+5n
y=-13-3n

2.Один из коэффициентов меньше нуля.
11x-8y=3
Все числа взаимно простые.
Замена y=-z
11x+8z=3
11x+8z=1










z=-12-11n
x=9+8n
Используя равенство y=-z получаем
x=9+8n
y=12+11n

следующее:

, но значит


Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придем к знаменателю . Теперь обыкновенная выглядит следующим образом:


...

Из-за громоздкой записи применяют компактную запись
Если оборвать дробь на знаменателе ,то ,обращая её в обыкновенную дробь, получи K подходящую дробь . Рассмотрим это на следующем примере:



n=5 .Отбросим и обратим в обыкновенную

следовательно 7 и -9 являются решением уравнения 40x+31y=1.
Числитель и знаменатель k подходящей дроби являются решением линейно-Диофантовых уравнений.
Примеры решений уравнений .
19x+12y=1





Значение k подходящей дроби




Получаем решение этого уравнения
X=-5-12n
y=8+19n