Презентация на тему Математическая статистика

Условия применения непараметрических методов: 1) несоответствие распределения значений в генеральной

выборке нормальному закону; 2) слишком малая выборка, чтобы судить о законе распределения; 3) невыполнение требования о гомогенности дисперсии при сравнении средних значений для независимых выборок; 4) наличие в выборке выбросов (экстремально больших или экстремально малых значений).
Важную группу непараметрических критериев составляют ранговые критерии.

порядке возрастания или убывания. Рангом выборочного значения называется порядковый

номер этого значения. Ранг однозначно определен порядковым номером, если в выборке нет совпадающих значений.
Если в выборке есть совпадающие значения, то их ранги определяются как среднее арифметическое порядковых номеров совпадающих значений.
Рангами могут быть представлены данные, выраженные в порядковой шкале, в том числе результаты наблюдения качественных признаков, когда невозможно измерить точное численное значение признака, но можно определить очередность значений по принципу «больше-меньше» (например, места в спортивных состязаниях, результаты судейства в баллах, оценки за экзамен и т. п.).

U-Манна-Уитни самый простой ранговый критерий (в отечественной литературе этот

критерий иногда называют также критерий Вилкоксона для независимых выборок или критерием Уайта).
Применение критерия U-Манна-Уитни основано на единственном предположении: выборки получены из однотипных непрерывных распределений. При этом вид распределения генеральных совокупностей X и Y никак не оговаривается. Допущение о непрерывности распределений может быть принято, когда исследуемый признак имеет большое число возможных градаций. Гипотеза Но: F(x) = F(y) – это утверждение о том, что функции распределения обеих генеральных совокупностей одинаковы. Иначе говоря, обе выборки получены из одной и той же генеральной совокупности и эффект обработки отсутствует.
Поясним это более подробно. Поскольку функции распределения F(х) и F(у) равны, то, следовательно, равны и характеристики положения этих распределений (среднее значение и медиана). Поэтому, если эффект оценивается по различию средних арифметических двух выборок, то нулевую гипотезу можно было бы записать в виде Но: μx = μy. В этом случае критерий U-Манна-Уитни является непараметрическим аналогом t-критерия для независимых выборок.
Ниже рассматривается применение критерия U-Манна-Уитни на конкретном примере.

тревожности» Спилбергера-Ханина:



Объем выборки контрольной группы nх = 10 и

экспериментальной nу = 10.
Проверим гипотезу Но: Мех = Меy против двусторонней альтернативы Н1: Мех=Mеу. Уровень значимости р = 0,05.
Порядок применения критерия U-Манна-Уитни:
Объединяем обе выборки в одну. Объем объединенной выборки будет n = nх+ nу = 20.
Ранжируем объединенную выборку, располагая данные в порядке возрастания. При этом отмечаем полужирным шрифтом данные, относящиеся к одной из выборок (все равно какой), например, КГ.
Находим ранги Ri объединенной выборки. Отмечаем ранги, относящиеся, например, к КГ.
Суммируем по отдельности ранги, относящиеся к первой и второй выборкам, т. е. находим суммы рангов:
RX = ΣRXi = 127,5; RY = ΣRYi = 82,5.
RX + RY = 127,5 + 82,5 = 210.
Для проверки правильности этих операций можно использовать тот факт, что сумма всех рангов: RX + RY = n(n + 1)/2 = 20(20+1)/2 = 210.
Меньшую из сумм рангов (в данном случае RY = 82,5) принимаем в качестве значения критерия U-Манна-Уитни.
Из таблицы «Критические значения U-Манна-Уитни для независимых выборок» находим критическое значение критерия U-Манна-Уитни при уровне значимости p = 0,05 и при объемах выборки n1 = 10 и n2 = 10: Up = 78.
Вывод: если U ≤ Up различие считается статистически значимым на уровне значимости p (нулевая гипотеза отбрасывается). В противном случае различие статистически незначимо, как в данном случае: 82,5 ≥ 78.

связанных выборок является непараметрическим аналогом t-критерия.
ПРИМЕР: У группы школьников

(n=10) до (xi) и после (yi) пребывания в спортивном лагере измеряли жизненную емкость легких (ЖЕЛ)
Отбрасываем пары с одинаковыми значениями xi и yi; для дальнейших расчетов объем выборки сокращаем на число отброшенных пар.
В нашем примере отбрасывается пара номер 7, и объем выборки станет n = 10 – 1 = 9.
У оставшихся пар вычисляем разности di = xi – yi.
Находим ранги R |di| абсолютных значений разностей di.

Отмечаем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей.
Находим по отдельности суммы рангов отрицательных, и положительных разностей R (–) и R (+). Суммы рангов: R (+) = 2,5; R (–) = 42,5.
Контроль: R (+) + R (–) = 2,5 + 42,5 = 9(9 + 1)/2 = 45.
Меньшую из сумм рангов принимаем в качестве значения критерия W. Для нашего примера W = R (+) = 2,5.
Из П 3.7. находим критическое значение Wp критерия W-Вилкоксона при уровне значимости p =0,05 и n =9, W =7.
В таблице «Критические значения W-критерия Вилкоксона для сопряженных пар» приведены критические значения двустороннего критерия W-Вилкоксона. Если используется односторонний критерий, то значения этой таблицы соответствуют удвоенным уровням значимости: Wp двух = Wp / 2одн.

Вывод: если W< Wp, то Н0 отбрасывается и различие связанных выборок является статистически значимым на уровне значимости р. В противном случае различия статистически незначимы.
Для нашего примера W < W0,05, поэтому различия статистически значимы на уровне значимости p ≤ 0,05.