Презентация на тему Інтерполяційніформулилангранжа, Ньютона, Гауса, Стірлінга, Беселля

що приймає дані значення у даному наборі точок. Для

n+1 пар чисел (X0, Y0), (X1, Y1) … (Xn, Yn),
де всі Xi різні, існує єдиний многочлен L(x) степеня не більшого від n, для якого L(Xi) = Yi.
У найпростішому випадку n=1 - це лінійний многочлен, якого — пряма, що проходить через дві задані точки.

визначаються за формулою:


Очевидно, що lj (x) мають

такі властивості:
Це поліноми степеня n
lj (Xj) = 1
lj (Xj) = 0 при i = j
Звідси випливає, що L(x), як лінійна комбіна-
ція lj(x), може мати степень не більший від n,
та L(xj) = yj

Цей приклад представляє інтерполяційний многочлен Лагранжа для чотирьох точок (-9,5), (-4,2),(-1,-2) і (7,9), а також поліноми yj lj(x), кожний з яких проходить через одну з виділених точок, та приймає нульове значення в інших xi

чисельного інтегрування. Нехай для функції f(x) відомі значення yj

= f(xj) у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як
Зокрема, . Значення інтегралів від lj не залежать від f(x), тож їх можна обчислювати заздалегідь, знаючи послідовність Хі.

вказаному випадку можна виразити Xi через відстань між вузлами

інтерполяції h та початкову точку Xo: і як наслідок,
Якщо підставити ці вирази у формулу базисного полінома та винести h за знаки множення у чисельнику та знаменнику, отримаємо

Після цього можна ввести заміну змінної

і отримати поліном від у, який будується з використанням лише цілочисленної арифметики. Недоліком цього підходу є факторіальна складність чисельника та знаменника, що вимагає використання алгоритмів з багатобайтним представленням чисел.

для полиномиального інтерполяції.
Якщо вузли інтерполяції рівновіддалені

і впорядковані за величиною, так що xi+1 – xi = h = const, тобто xi = x0 + ih, то інтерполяційний многочлен можна записати у формі Ньютона.
Інтерполяційні поліноми у формі Ньютона зручно використовувати, якщо точка інтерполяції знаходиться поблизу початку (пряма формула Ньютона або кінця таблиці (зворотна формула Ньютона).

інтерполяції, що знаходяться на одиничному відстані один від одного,

справедлива формула:
де - узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.

застосовується для інтерполяції вперед:

де
а вирази виду кінцеві різниці.

Ньютона, застосовується для інтерполяції назад:

де

інтерполяції, найближчі до точки інтерполяції x вузлів. Якщо

, то формула

написана по вузлах
називається формулою Гауса для інтерполяції вперед , а формула:

написана по вузлах

для інтерполяції назад . У формулах ( 1 )

і (2 ) використані кінцеві різниці , що визначаються таким чином:

Перевага інтерполяційної формули Гауса полягає в тому , що зазначений вибір вузлів інтерполяції забезпечує найкращу оцінку залишкового члена в порівнянні з будь-яким іншим вибором, а впорядкованість вузлів по мірі їх близькості до точки інтерполяції зменшує обчислювальну погрішність інтерполяції.

x, близьких до одного з середніх вузлів a; в

цьому випадку природно взяти непарне число вузлів Х-k, … , X-1, Xo, X1, … , Xk, вважаючи a центральним вузлом Xo.

x, близьких середині a між двома вузлами; тут природно

брати парне число вузлів
X-k, … , X-1, Xo, X1, … , Xk, Xk+1, і розташовувати їх симетрично щодо a(Xo < a < X1).