Презентация на тему Преобразование плоскости

лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой,

причем порядок взаимного расположения точек на прямой сохраняется.

Докозательство:
1. Пусть точки А, В и С принадлежат прямой d, причем
А-В-С →АВ+ВС=АС
2. f(A)=A1, f(В)=В1, f(С)=С1, т.к. f- движение, то А 1В1=АВ,
В1С1=ВС, А1С1=АС → А 1В1+ В1С1= =АВ+ВС=АС= А1С1→
А 1В1+ В1С1= А1С1→ A1, В1 и С1 принадлежат некоторой прямой d1 и А 1 -В1- С1.

Следствие 1
При движении прямые переходят в прямые , лучи - в лучи, отрезок заданной длины - в отрезок той же длины.

треугольник.

Следствие 2
При движении угол переходит в равный ему угол,

фигура переходит в равную фигуру.

При движении отрезок переходит в отрезок равный данному. Следовательно, треугольник переходит в треугольник равный данному (по третьему признаку).

Теорема 2
При движении окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. f- некоторое движение, f(O)=O1
2. М- произвольная точка окружности, следовательно f(М)= М1, по определению движения
O1 М1=ОМ=r , таким образом при заданном движении окружность с центром О и радиусом r перейдет в окружность с центром O1 и тем же радиусом r.

относительно точки О, если точка О принадлежит отрезку АА1

и этой точкой отрезок АА1 делится пополам.

Zо(А)=А1
О- центр симметрии
А и А1 – центрально симметричные.

Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Zо задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно точки О (центральной симметрией).

Теорема
Симметрия относительно точки является движением.

Доказательство:
Точки А, В и О не лежат на одной прямой
1. Zо(А)= А1 , Zо(В)= В1 → АО=А1О, ВО= В1О, ∟АОВ=∟ А1ОВ1- как вертикальные;
2. Следовательно, ∆АОВ=∆ А1ОВ1 по двум сторонам и углу между ними (I признак);
3. Из равенства треугольников следует, что АВ= А1В1.

Точки А, В и О лежат на одной прямой

А1В1=|ОВ1-О А1|=|ОВ-ОА|=АВ или

А1В1= А1О+ОВ1=ОА+ОВ=АВ, а следовательно Zо- движение.

неподвижная точка, т.е. Zо(О)= О
2. Прямая, проходящая через центр

симметрии переходит в себя.

М Є m → М1 Є m

3. Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую (следует из равенства накрест лежащих углов при прямых АВ и А1В1, секущей ВВ1)

ОЄ АВ; Zо(АВ)= А1В1, АВ|| А1В1

4. Центральная симметрия изменяет направление АВ↑↓ А1В1

Zо(А)= А1, Zо(А1)= А

Определение:
Если некоторая фигура при симметрии относительно точки О переходит в себя , то точка О называется центром симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно точки О.
Zо (Ф)= Ф

Zо(А)= C, Zо(В)= D, Zо(С)= А , Zо(D)= В

симметричными относительно прямой l, если отрезок АА1 перпендикулярен прямой

l и делится этой прямой пополам.

Sl(A)= А1
А и А1 - симметричные точки.
l- ось симметрии

Теорема
Симметрия относительно прямой является движение
X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в одной полуплоскости относительно прямой l.

1. Sl (X)= X1, Sl (Y)= Y1 , XX1∩l=A, YY1∩l=B
2. ∆ABY и ∆АВY1 - прямоугольные (по определению осевой симметрии)
∆ABY = ∆АВY1 - по двум катетам → AY=AY1 и ∠YAB=∠Y1AB
3. Рассмотрим ∆XAY и ∆X1AY1:
ХА=Х1А (по определению осевой симметрии)
AY=AY1 (по доказанному)
∠ XAY=∠ X1AY1 (как разность прямых и равных углов)
Следовательно, ∆XAY = ∆X1AY1 ( по двум сторонам и углу между ними,I признак)
4. Из равенства треугольников следует равенство отрезков XY и X1Y1.

Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Sl задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно прямой l (осевой симметрией).

разных полуплоскостях относительно прямой l.
X и Y -произвольные

точки плоскости, одна из точек лежит на прямой l.

Равенство отрезков XY и X1Y1 следует из равенства по двум катетам прямоугольных треугольников X1CA и XCA, YCB и Y1CB.

Sl (X)= X, Sl (Y)= Y1 → ∆XYB=∆XY1B (по двум катетам) → XY= XY1
Т.о. осевая симметрия - движение
Свойства осевой симметрии
1. Sl(l)=l - любая точка оси симметрии - неподвижна (переходит сама в себя);
2. Прямая перпендикулярная оси симметрии переходит сама в себя;
3. Соответствующие прямые пересекаются на оси симметрии или параллельны;

переходит в себя, то прямая m называется осью симметрии

этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно прямой m.

Sm(Ф)=Ф

плоскости, при котором каждая точка плоскости М переходит в

М1 так, что ММ1=АВ и обозначается РАВ (М)=М1.

IV группа. Параллельный перенос.

Теорема

Параллельный перенос является движением

1. РАВ (X)=X1 , РАВ (Y)=Y1 → XX1 ||AB, XX1 =AB; YY1 ||AB, YY1 =AB
2. Следовательно, XX1|| YY1 и XX1= YY1
3. YXX1Y1- параллелограмм по признаку
4. По свойству параллелограмма XY=X1Y1 , значит параллельный перенос - движение.

точек;
2. Прямые, параллельные направлению переноса, переходят в себя;
3. Параллельный

перенос сохраняет направление, т.е. если А→А1 и В→В1,то лучи АВ и А1В1 сонаправлены. Обратно: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.

4. Композиция (последовательное выполнение) двух параллельных переносов - параллельный перенос, причем параллельные переносы - перестановочны: Ра Рb= Рb Ра =Pa+b

Следствие: Любую композицию параллельных переносов можно заменить одним параллельным переносом (по правилу многоугольника)

Орнамент. Это узор, который получается, если некоторую фигуру подвергнуть параллельному переносу несколько раз.

центр поворота) и угол ϕ (угол поворота).

Преобразование плоскости, при

котором каждая точка М плоскости переходит в точку М1 такую, что угол между лучами ОМ и ОМ1 равен ϕ, а ОМ=ОМ1 , называется поворотом около точки О на угол ϕ.
ϕ>0 - если поворот совершается против часовой стрелки
ϕ<0 - если поворот совершается по часовой стрелки

(M)=M1, ϕ>0

Теорема.
Поворот является движением.

X

1. (X) = X1, 1 → OX=OX1, OY=OY1
2. ∠ХOY=ϕ-∠X1OY, ∠X1OY1=ϕ-∠X1OY →∠ХOY=∠X1OY1
3. Значит, ∆ ХOY=∆ X1OY1- по двум сторонам и углу между ними, тогда XY= X1Y1
Т.к. точки X и Y произвольные, следовательно, поворот- движение

является центральной симметрией относительно точки О.
2. Центр вращения -

единственная неподвижная точка,

(O)=O.

Окружности с центрами в точке О (центре поворота) - переходят сами в себя.

3. Если

(А)=А1 ,

(В)=В1 , то угол между АВ и А1В1 равен ϕ;

4. Композиция двух вращений с общим центром на углы α и β соответственно является вращением с тем же центром на угол α+β. При этом вращения перестановочны.

=

=

5. Тождественное преобразование можно рассматривать как поворот на нулевой угол.
6. Композиция двух вращений с центрами О1 и О2 на углы α и β, соответственно, является вращением с новым центром О на угол α+β, если α+β≠360о, и параллельным переносом, если α+β=360о.

называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между

точками изменяются в одно и тоже число раз.

Рk(F)=F1 , Рk - подобие с коэффициентом k

f: X X1

f: Y Y1 , X1Y1= k ∙XY, где k>0 -является одним и тем же для всех точек X и Y.
k - коэффициент подобия, а фигуры F∾F1 (подобны).
Подобие не является движением, т.к. расстояния изменяются.
Свойства подобия.
1. Преобразование подобия переводит прямую в прямую, отрезок - в отрезок, луч - в луч.
Действительно, если точки А,В,С лежат на одной прямой, то АС=АВ+ВС, тогда А1В1= k∙АВ=K∙(АС+СВ)=k∙АС+k∙СВ=А1С1+С1В1 → А1,С1,В1 -лежат на прямой и порядок расположения точек сохраняется.
2. Преобразование подобия сохраняет углы.
3. Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
4. Преобразование подобия переводит окружность в окружность.
5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом k, есть преобразование подобия с коэффициентом, равным

6. Композиция преобразований подобия с коэффициентами k1 и k2 есть преобразование подобия с коэффициентом k=k1 ∙k2

Точки М и М1 являются соответствующими в гомотетии если

ОМ1=k∙ОМ.
Но,k(М)=М1 , где О- центр гомотетии, k- коэффициент гомотетии.

k>0 K<0

Частные случаи гомотетии:
k=1 - тождественное преобразование
k=-1 - центральная симметрия относительно точки О.
Теорема.
Гомотетия является подобием.

k>0 k<0

1. Но,k(А)=А1, Но,k(В)=В1 →ОА1=k∙ОА , ОВ1=k∙ОВ

2. А1В1= ОВ1- ОА1= k∙ОВ - k∙ОА =k∙(ОВ-ОА)=k∙ АВ
Следовательно, гомотетия является подобием
Из подобия следует, что расстояние между соответствующими точками не сохранилось, таким образом, гомотетия не является движением.

в отрезок;
2. Гомотетия с k>0 переводит луч в себя

(в сонаправленный луч), а гомотетия с k<0 переводит луч в противоположно направленный луч;
3. Гомотетия сохраняет углы;

4. Гомотетия переводит окружность в окружность

Но,k(О1)=О2, Но,k(Х)=Х1→ОО2=k∙ОО1 , ОХ1=k∙ОХ2 , ∠О- общий →∆ОО1Х подобен ∆ОО2 Х1 по второму признаку→ О2Х1=k∙О1Х ;
т.к. Х произвольная точка окружности, следовательно, окружность переходит в окружность;
5.Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k≠0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии и коэффициентом, равным

6.При k≠1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя (Следует из подобия и из определения гомотетии);
7.Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом k=k1 ∙k2;
8.Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

Рk (Y)=Y1→ X1Y1=k∙ XY (из определения подобия);
Ho,k(F)=F* ,k>0 и

О- произвольная→ Ho,k(X)=X*, Ho,k(Y)=Y*→ X*Y*=k∙ XY (из определения гомотетии);
Таким образом, для любых точек X*;Y* фигуры F*верно равенство X1Y1= X*Y*,
которое означает, что фигуры F*и F1 равны, а значит, существует движение, переводящее фигуру F*в фигуру F1.

с выколотым центром О. Инверсией Io,k с полюсом О

и степенью k=r2 называется взаимно - однозначное преобразование М→М1 такое, что ОМ∙ ОМ1= r2 (точки О,М , М1 -лежат на одной прямой).
Точка О выколота, т. к. не имеет образа

Построение соответствующих в инверсии точек:
1. Точка М внутри круга инверсии. МА ОМ; ОА- радиус; АМ1 ⊥ ОА (АМ1- касательная); М1 =ОМ∩АМ1 (ОМ∙ ОМ1= r2 ,т.к. катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу);
2. Точка М - вне круга инверсии. Построения выполняются в обратном порядке: проводится касательная к окружности и из точки касания опускается перпендикуляр.

М1, то точку М1 эта инверсия переводит в точку

М (инверсия - инволютивное преобразование, т.е. =e -тождественное преобразование)

Io,k(М)=М1, то Io,k(М1)=М ;

2.При инверсии точки, расположенные внутри круга инверсии, переходят в точки, расположенные вне круга инверсии.
Точки, расположенные вне круга инверсии, переходят во внутренние точки круга.
Точки окружности инверсии переходят в себя.
3.Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя

Полуинтервал (ОК]→луч [Кb), полуинтервал (OE]→луч [Ea), К→К, Е→Е

4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.