Презентация на тему Q-схема моделирования (непрерывные марковские системы)

Марков (1856 - 1922)
Оставил труды в области Теории вероятностей

и случайных процессов, математическом анализе и теории чисел.

Не путать с А.А. Марковым младшим (сын), создателем алгорифмов Маркова.

моделируемого объекта, а дуги – интенсивность перехода из одного

состояния в другое (сколько раз в единицу времени происходят переходы).

Sk - состояние объекта моделирования
ij- поток вероятностей переходи из i-го состояния в j-ое

Непрерывный Марковский процесс

МГУ с 1927 года.
Создатель теории потока однородных событий,
Совместно с

А.Н. Колмогоровым – создатель теории случайных процессов и теории массового обслуживания.

Это – последовательность событий, происходящих одно за другим.
Поток событий

может быть:
- Детерминированный (моменты времени появления событий определены заранее: либо происходят через равные промежутки времени, либо заданы определены законом ti=f(ti-1) ).
- Cлучайный, когда появление событий случайно.

теории вероятностей, которая в результате испытания принимает только одно

определенное значение и своего множества значений) случайный поток – это последовательность событий, возникающих в случайные моменты времени. Например, приход автобусов к остановке, поступление запросов на телефонную станцию, подход покупателя к кассе магазина, приход пакета информации к абоненты в компьютерной сети.
Время между двумя событиями ( ) в случайном потоке задается с помощью функции распределения случайной величины. Такие потоки можно классифицировать по таким законам (равномерный, экспоненциальный, биномиальный, нормальный и т.д.).



происходящих в единицу времени. Обычно обозначается как  или

.
Закон распределения интервалов между событиями (обычно задается с помощью непрерывной случайной величины).
Существует или нет зависимость событий друг от друга (т.е. влияет ли последовательность предыдущих событий на появление текущего события).
Однородность (стационарность) – неизменность параметров потока событий со временем.

равный промежуток времени. Примеры – такты работы процессора, движение

стрелки часов и т.д.




Поток с ограниченным последействием (поток Пальма), т.е. поток, где время между событиями описывается случайной величиной.

t

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

точка ставится наудачу в определенном интервале;
ошибка при округлении до

ближайшего целого.

математическое ожидание с.в.;
x – время между двумя событиями.

Где встречается

в природе?
погрешности измерений;
отклонения геометрических размеров и положения элементов строительных конструкций при их изготовлении и монтаже;
изменчивость физико-механических характеристик материалов и нагру­зок, действующих на строительные конструкции.

M=, D= 2

событиями описывается с помощью экспоненциального вероятностного распределения.
Пуассоновский поток,

обладающий всеми тремя необходимыми свойствами: ординарность, отсутствие последействия, стационарность – называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

Где  - интенсивность потока, т.е. сколько в среднем событий происходит в единицу времени.

Где встречается в природе?
Поток событий, порождаемый множеством независимых источников.

1 и 2 идентична пуассоновскому потоку с интенсивностью 

= 1 + 2.

Пуассоновский поток обладает свойствами отсутствия последействия и ординарности

единичный интервал времени в элементарном потоке событий попадет ровно

m событий.

m

f(m)

При =1

Где
a = ;
 - временной интервал;
m – число событий в единицу времени;
 - интенсивность потока событий;

независимых случайных величин x со средним Мх и дисперсией

Dx стремится к нормально распределенной величине с параметрами nМх и nDx при бесконечном увеличении n.
Предельная теорема для суммарного потока:
Достаточно больше число (более 5-7) независимых потоков событий, имеющих различное распределение, стремятся к экспоненциальному потоку с  равной сумме интенсивностей всех потоков (каждый поток оказывает примерно одинаковое влиянием на суммарный поток).
Предельная теорема для разреженного потока
Если любой поток разрежать произвольным образом, то при достаточно большом числе выброшенных точек поток будет стремиться к простейшему.

где k – число выброшенных событий.
Поток эрланга 1-го

порядка – экспоненциальный закон, 2-го порядка – удаляется каждое 2-е событие, 3-го порядка – удаляется два события, третье оставляется и т.д.

то при его просеивании и получении потока Эрланга k-го

порядка, интенсивность потока будет /n.
Нормированный поток Эрланга, когда при просеивании временную ось масштабируют, чтобы остался прежняя интенсивность потока .
Когда порядок потока Эрланга k равняется 20-30, он приближается к нормальному распределению.
Когда ранг k поток Эрланга вырождается в регулярный поток с временем между событиями равным 1/ .

при изучении имитационных моделей: случайные события поступают на имитационную

модель, выходные характеристики модели собираются, а затем обрабатываются статистическими методами.

Для генерации случайной последовательности необходима генерация последовательности случайных чисел, подчиненных определенной плотности вероятностей (эти случайные величины будут представлять собой последовательность интервалов времени между событиями случайного потока)

Как правило, в каждом языке программирования или среде моделирования

существует генератор случайных чисел по равномерному распределению в интервале [0,1]. Такую последовательность можно преобразовать в последовательность чисел с.в. любой функции плотности вероятностей с помощью метода обратной функции:
f(x)=R -> x=f-1 (R), где
R – последовательность равномерной с.в. из интервала [0,1] (базисное число),
f-1 – обратная функция;
x – последовательность чисел с.в. заданного распределения.

распределения вероятностей  , то распределение случайной величины
равномерно в

интервале  [0,1], т. е.
где Rav[0,1] – с.в. равномерной функции распределения

распределение на интервале [a,b]:
Экспоненциальное распределение:
Нормальное распределение:

определение закона распределения или других характеристик с.в., исходя из

экспериментальных данных.

Генеральная совокупность - совокупность всех мыслимых (возможных) результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены при данных условиях.
Выборка — это конечный набор x1, x2, …, xN значений случайной величины, полученный в результате наблюдений. Число элементов N выборки называется ее объемом или размером. В выборке некоторые значения могут совпадать. Чем больше объем выборки, тем более точно можно установить статистическими методами закон распределения с.в.

которая достаточно точно характеризует свойства генеральной совокупности.
Оценивание - указание

приближенного значения интересующего нас параметра (или функции от некоторых параметров) на основе наблюдаемых (экспериментальных) данных, представленных в виде выборки ограниченного объема.
Оценка — это правило вычисления приближенного значения параметра (или функции от некоторых параметров) по наблюдаемым данным. Оценка параметра дается с определенной точностью, т.е. как с.в., т.е. При многократном извлечении выборок одного и того же объема и последующем нахождении множества оценок одного и того же параметра получаются различные числовые значении этих оценок.

z2, …, zn получают из исходных данных путем расположения

xm (m=1,2, …,n) в порядке возрастания от xmin до xmax так, чтобы
xmin = z1 ≤ z2 ≤…≤ zn = xmax.
Диаграмма накопленных частот Pn(x) является эмпирическим аналогом интегрального закона распределения (функции вероятности) P(x) и ее строят в соответствии с формулой:



где n(x) - число элементов в выборке, для которых значение xj < x

x1=5, x2=2, x3=4, x4=5, x5=7.
Вариационный ряд для данной выборки

будет таким: z1=2, z2=4, z3=5, z4=5, z5=7:

распределения f(x).
Алгоритм составления гистограммы:
По оценочной формуле находим предварительное количество

квантов (интервалов) К, на которое нужно разбить ось 0x: K = 1 + 3.2lg n, найденное значение K округляют до ближайшего целого числа.
Определяем длину каждого кванта (интервала): Δx = (xmax - xmin)/K, которую для удобства можно округлить.
Подсчитываем количество наблюдений nm, попавшее в каждый квант: nm равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство xm ≤ zl < xm + Δx. Здесь xm и xm + Δx - границы m-го интервала; zi, попавшие на границу между (m-1)-м и m-м интервалами, относят к m- му интервалу.
Подсчитываем относительное количество (относительную частоту) наблюдений nm/n, попавших в данный квант.
Строим гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m-м интервале (xm, xm + Δx) (m = 1, 2, …,K) постоянно и равно nm/n.
Проверяем равняется ли сумма высот всех столбиков гистограммы единице.

z1, z2, …, zn получают из исходных данных путем

расположения xm (m=1,2, …,n) в порядке возрастания от xmin до xmax так, чтобы
xmin = z1 ≤ z2 ≤…≤ zn = xmax.
Диаграмма накопленных частот Pn(x) является эмпирическим аналогом интегрального закона интегрального закона распределения P(x) и ее строят в соответствии с формулой



где n(x) - число элементов в выборке, для которых значение xj < x

должен обладать следующими свойствами:
Ординарность – в один момент

не могут произойти сразу два события, т.е. p0(t,t+t) + p1(t,t+t) + p>1(t,t+t)=1. При t 0 p>1(t,t+t) 0.
Отсутствие последействия – то, что текущее
событие не зависит от предыдущих событий.
Стационарность – то, что параметры потока
не меняются с течением времени ((t)==Const).

Всем вышеперечисленным требованиям удовлетворяет пуассоновский (или экспоненциальный) поток событий.