Презентация на тему Рекомендуемая литература

учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т.

Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

дифференцирование
§2. Производные высших порядков
§3. Дифференциал функции
§4. Основные теоремы дифференциального

исчисления
§5. Правила Лопиталя

Содержание лекции

(явная функция), если она может быть выражена уравнением y

= f(x), разрешенном относительно y.
Df: Говорят, что функция задана в неявном виде (неявная функция), если она не может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y; в этом случае функция задается неявным уравнением F(x; y) = 0.
Так, неявно заданными функциями будут функции
y + 2x + cos y = 1; ey – x + y = 0; 4x2 + 9y2  16 = 0, и др. Неявно заданные функции трудно или невозможно (однозначно) разрешить относительно y.
Однако, для нахождения производной y  yx нет необходимости в получении явного выражения y = y(x).

§1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование 1.1. Неявно заданная функция

функции y = f(x) называется производная от производной (n1)-го

порядка:
y(n) = (y(n1)).
Производные порядков выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производных четвертого порядка, порядок производных обозначают римскими цифрами или числом в скобках; так, yIV или y(4) – производная 4-го порядка.
П р и м е р 4. Найти 13-ю производную функции y = sin x.
Решение: Для выявления закономерности вычислим несколько первых производных данной функции: y = (sin x) = cos x; y = (cos x) = sin x; y = (sin x) = cos x; yIV = (cos x) = sin x. Т.о., четвертая производная дает исходную функцию y = sin x и цикл замыкается. Поэтому y(13) = y = cos x.
Ответ: y(13) = y = cos x.

2.1. Явно заданные функции (продолжение)

F(x; y) = 0. Требуется найти производные высших порядков

переменной y по независимой переменной x.
Продифференцировав уравнение F(x; y) = 0 по x и разрешив полученное уравнение относительно y, найдем производную первого порядка (первую производную) y = y(x; y). Продифференцировав вновь выражение y(x; y) по x получим вторую производную y от неявно заданной функции. В выражение для y войдут x, y, y. Подставляя уже найденное значение y в выражение для второй производной, получим выражение для второй производной y = y(x; y).
Аналогично вычисляют производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

2.2. Неявно заданные функции

графику функции y = f(x) в точке М(x; y)

касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки с абсциссой x + x (см. рис.).






На рис.: |AM| = x, |AM1| = y, |AB| = dy. Из прямоугольного треугольника AMB имеем tg  = AB/AM = dy/dx = f(x).
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты этой касательной в т. x + x.

3.2. Геометрический смысл дифференциала функции

2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции

по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента:
dy = yudu.
Доказательство: Пусть y = f(u) и u = (x) – две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию y = f((x)). По теореме о производной сложной функции можем написать: yx = yu ux. Умножив обе части этого равенства на dx, имеем: yxdx = yu uxdx. Заметив, что yxdx = dy и uxdx = du, получаем требуемое:
dy = yudu, ч.т.д.

3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение)

что они имеют один и тот же вид, независимо

от того, является ли аргумент функции y(x) или y(u) независимой переменной x или сам является функцией другого аргумента u = u(x).
Df: Независимость вида (первого) дифференциала от того является ли аргумент функции независимой переменной или сам является функцией другого аргумента, называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение)

в точке x можно представить в виде y =

f(x)x + x, где   0 при x  0. Отбрасывая бесконечно малую функцию более высокого порядка, получим приближенно:
y  f(x)x = dy.
Это равенство выполняется тем точнее, чем меньше x. Нередко оказывается, что дифференциал функции вычислить проще, чем приращение самой функции, поэтому формула y  dy широко применяется в практике приближенных вычислений. Формулу приближенных вычислений удобно использовать в виде:
f(x + x)  f(x) + f(x)x.
Подразумевается, что значение функции f(x) в точке x известно или может быть легко найдено.
Можно показать, что абсолютная погрешность y приближенной формулы не превышает величины |y|  M(x)2, где M = max|f(x)|, x  [x; x + x].

3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

в численном нахождении корня уравнения вида f(x) = 0.






Пусть

в результате предварительного исследования функции y = f(x) установлена единственность корня x и на n-ом итерационном шаге в точке xn значение функции равно f(xn). Следующее приближение (xn+1) выберем, проведя касательную к графику функции в точке xn (см. рис.).

3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение)

ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый

дифференциал dy = f(x)dx сам является функцией от x и можно найти дифференциал этой функции.
Df: Дифференциал от (первого) дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается d2y или d2f(x) . По определению, d2y = d(dy) = d(f(x)dx).
Вычислим второй дифференциал функции y = f(x):
d2y = d(dy) = d(f(x)dx) = (f(x)dx)dx = (f(x))dxdx = f(x)dx2.
Здесь dx2 = dxdx = (dx)2 – квадрат приращения аргумента x.
Аналогично получаем для 3-го дифференциала:
d3y = d(d2y) = d(f(x)dx2) = (f(x) dx2)dx = (f(x)) dx2dx =
= f(x)dx3,
где dx3 = dx2dx = (dx)3 – куб приращения аргумента x.

3.6. Дифференциалы высших порядков

теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
Т е о

р е м а (лемма) П. Ферма. Если функция имеет производную, и в точке с имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно нулю: f(с) = 0.
Доказательство: Приведено далее, при анализе экстремального поведения дифференцируемой функции.

§4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Ролля (о нуле производной). Если функция y = f(x)

непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка c  (a; b), в которой производная f(x) обращается в нуль, т.е. f(с) = 0.
Доказательство: Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений; обозначим их M и m, соответственно.
Если M = m, то функция постоянна (f(x)  Const) и потому f(x)  0 x  (a; b). Для этого, тривиального, случая утверждение теоремы доказано.

§4. Основные теоремы дифференциального исчисления (продолжение)

 m, то функция достигает хотя бы одно из

значений M или m во внутренней точке c интервала (a; b), так как f(a) = f(b) (см. рис.).







Пусть, например, функция f(x) принимает значение M = f(c) во внутренней точке с области определения функции: c  [a; b]. Тогда для всех x  (a; b) выполняется соотношение f(x)  f(c) = M.

§4. Теорема Ролля (продолжение)

y = f(x) найдется точка, в которой касательная к

графику функции параллельна оси Ox (см. выше рис. а, б). Таких точек в области определения функции может быть несколько (см. рис.), и даже бесконечное (счетное) множество.

§4. Теорема Ролля (продолжение)