Презентация на тему Векторы и операции над ними

у которого одна из ограничивающих его точек принимается за

начало, а вторая – за конец).

Определение

длиной (или модулем) вектора.
Обозначают:

или
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Обозначают:
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).
Записывают: || - если векторы и коллинеарные,
|| - если векторы неколлинеарные.
Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых называются перпендикулярными (ортогональными)
Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях) называются компланарными.

- коллинеарные и их концы лежат

по одну сторону от прямой, соединяющей их начала (для векторов лежащих на параллельных прямых) или один из лучей, АВ или CD, целиком содержит в себе другой (для векторов лежащих на одной прямой), то векторы называются сонаправленными. В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными.

Записывают:
↑↑ - если векторы и сонаправленные,
↑↓ - если векторы противоположно направленные.

↑↑

↑↑

↑↓

↑↓

умножения вектора на число.
Сложение векторов
Суммой векторов

и называется вектор = + с началом в точке A и концом в точке С (правило треугольника) (рис.1).
Вычитание векторов
- = + (- )
Умножение вектора на число
Произведением вектора и действительного числа а называется вектор а , модуль которого равен , направление совпадает с направлением вектора , при а>0, и противоположно направлению вектора при а<0. При а=0, а = (рис. 2)

Линейные операции над векторами

+ ,
2. ( + )+

= +( + ) ,
3. + = ,
4. +(- )=0,
5. λ1(λ2 • )= λ • λ2 • ,
6. (λ1+λ2) • = λ1 + λ2 ,
7. λ( + )= λ + λ ,
8. 1 • =

Свойства линейных операций над векторами

котором определены операции сложения и умножения на число, а

также справедливы утверждения (1-8), называют линейным пространством, а сами элементы - векторами (в широком смысле) этого пространства. Таким образом, введенные векторы, как направленные отрезки, образуют линейное пространство.
Линейной комбинацией векторов называют вектор  


где - коэффициенты линейной комбинации. Если - комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.


 

вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если

к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Свойства линейной зависимости

называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:
1) существует

n линейно независимых векторов;
 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.
 Обозначения : n = dim V; .
Базис пространства . Координаты вектора
Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства ..
Обозначение:
Для каждого вектора существуют числа такие что:





Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

при том единственным образом в виде линейной комбинации базисных

векторов.

Ортонормированным (декартовым) базисом называется базис из попарно ортогональных (попарно перпендикулярных) векторов, длина каждого их которых равна единице.

Базисные векторы декартова базиса называют ортами и в трёхмерном пространстве обозначают .

Орты с общим началом в точке 0 образуют декартову систему координат.

Если базис не ортонормирован, то система координат называется аффинной.

этого вектора в данном базисе.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов

в декартовом прямоугольном базисе:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции

этого вектора на соответствующие координатные оси.

произведение векторов


Нелинейные операции над векторами

равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между

ними.

  и любого числа

λ справедливы равенства:

причем

(переместительный закон).

(распределительный закон).

(сочетательный закон).

вектор называется третий вектор ,который

обладает следующими свойствами:

Его длина равна
Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов , и – правая).
Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

нулевой вектор равно нулевому вектору;

векторное произведение двух коллинеарных векторов

равно нулевому вектору;

координаты векторного произведения векторов и следующие:

.

смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью

до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. Смешанное произведение также равно 1/6 объема образованной векторами треугольной пирамиды. Таким образом и .

справедливо равенство:

При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение

меняет знак.
Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если .
Если векторы заданы в координатной форме

то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:




Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.