Презентация на тему Действительные числа 10 класс

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –

b, если существует натуральное число q такое, что выполняется

a – делимое
b – делитель
q – частное

a : b = q

b, то a ⋮ b.
2о Если a ⋮ b

Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.

Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.

3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
то (48 + 52) не делится на 3.

Свойства делимости

c) ⋮ b, то c ⋮ b.
5о Если a

Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).

6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.

Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то
(48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.

Свойства делимости

N, то ac ⋮ b.
8о Если a ⋮ b

Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.

9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.

Свойства делимости

Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

числа делилась на 2.
Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).

Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.

На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Пример: 56730 ⋮ 10.

4 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример: 56736 ⋮ 4,

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.

На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.

125 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример: 56375 ⋮ 125,

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.

На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.

цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах,

Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.

Признаки делимости

Для того чтобы натуральное число делилось

На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).

Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n –

Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

2! = 1 ∙ 2 = 2

1! = 1

0! = 1

делимое
b – делитель
Теорема 4. Если натуральное число а больше

Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.

q – неполное частное
r – остаток

Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.

делителя – само себя и 1, то его называют

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.

Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.

Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.

Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

делителей, то его называют составным числом.
1 не является ни

4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.

Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.

24, 32, 48, 96
Делители числа 72:
Наибольший общий делитель (НОД)
1,

Делители числа 96:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.

Найти НОД чисел: 72 и 96.

НОД (72; 96) = 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

b называют взаимно простыми числами, если у них нет

Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.

…
Кратные числа 12:
Наименьшее общее кратное (НОК)
12, 24, 36, 48,

Кратные числа 18:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.

Найти НОК чисел: 12 и 18.

НОК (12; 18) = 36

36, 72, 108, 144, …

∙ 5 ∙ 7
2
2
3
3
3
5
7
3780
1890
945
315
105
35

2
2
2
2
3
3
7
7

7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1

7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72

НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252

НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840

конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической

Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.

Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);

6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

периодическую дробь :
Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…

Пример (1 способ):

–

периодическую дробь :
Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 +

Пример (2 способ):

латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√11 ≈ 3,31662479035539…

Примеры: