Слайд 2
Проблема:
Ученикам часто кажется, что тригонометрия – это скучный
набор формул и графиков. И они не догадываются, что
многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца — это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями.
Слайд 3
Тригонометрические функции
Сам термин «тригонометрические функции» введён Клюгелем в
1770.
Слайд 4
Тригонометрические функции — элементарные функции — элементарные функции, которые исторически возникли при
рассмотрении прямоугольных треугольников — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и
выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.
Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
Слайд 5
К тригонометрическим функциям относятся:
прямые тригонометрические функции
синус (sin x)
косинус (cos x)
производные
тригонометрические функции
тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)
другие тригонометрические функции
секанс (sec x)
косеканс (cosec x)
В западной
литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.
Слайд 6
Кроме упомянутых существуют также редко используемые тригонометрические функцииКроме
упомянутых существуют также редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.),
а также обратные тригонометрические функции(арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.
Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывнымиСинус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми
вещественнозначными функциями.
Слайд 7
Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные,
периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не
непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.
Слайд 8
Древняя Греция
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла
в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась
изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) первые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.
Слайд 10
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые
Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил
таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Слайд 11
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения
отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические
функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.
Слайд 12
В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались
Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального
названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.
Слайд 13
Слово синус появилось в математике далеко не сразу. Этот термин
имеет свою длительную (начиная с I-II вв.) и интересную
историю. Зарождение тригонометрии связано с именами александрийских астрономов и в первую очередь с именем Клавдия Птолемея.
История понятия синуса
Слайд 15
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение
латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или
иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)). Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
История понятия косинуса
Слайд 17
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это
отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном
треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
прямые тригонометрические функции
синус (sin x), косинус (cos x)
Слайд 19
История развития тангенса
Тангенсы возникли в связи с
решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также
котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Слайд 21
Не сохранилась. По видимому, его "родил" тангенс, когда
как-то перевернулся (шутка).
История возникновения котангенса
Слайд 22
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение
противолежащего катета к прилежащему
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
— отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
производные тригонометрические функции
тангенс (tg x), котангенс (ctg x)