Слайд 2
Координатный метод решения заключается во введении (привязке к
исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении
образующихся векторов (их длин и углов между ними).
Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель нашей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.
Слайд 3
Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач
сводится к следующему:
Выбираем в пространстве систему координат из соображений
удобства выражения координат и наглядности изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.
Слайд 4
В задании ЕГЭ по стереометрии чаще всего требуется
найти:
угол между двумя скрещивающимися прямыми,
угол между прямой
и плоскостью,
угол между двумя плоскостями,
расстояние между двумя скрещивающимися прямыми,
расстояние от точки до прямой,
расстояние от точки до плоскости.
Слайд 5
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя
прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
При
нахождении угла между прямыми используют формулу
или в координатной форме
Слайд 6
Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Сторона основания
правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4.
Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B1E.
Слайд 7
Углом между плоскостью и не
перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и
её проекцией на данную плоскость.
Угол между прямой и плоскостью можно вычислить:
по формуле
или в координатах
,
где - вектор нормали к плоскости α,
- направляющий векор прямой l
Слайд 8
Задача на нахождение
угла между прямой и плоскостью
В
прямоугольном параллелепипеде АВСDAB1C1D1 АВ=8, ВС=6,
АА1=12.
Точка К – середина ребра АD,
точка М лежит на ребре DD1
так, что DM:D1M=1:2.
а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости СКМ.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью СКМ .
Вариант 126 aleks.larin
Слайд 9
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту
точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки
на плоскость.
Расстояние от точки М до плоскости α
вычисляется по формуле ,
где М(х0;у0;z0), плоскость задана уравнением
ax+by+cz+d=0;
Слайд 10
Задача на нахождение
расстояния от точки до плоскости.
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1
АВ=6, ВС=4, АА1=7.
Точка Р –
середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=2:5.
Найдите расстояние от точки D до плоскости МРС.
Вариант 125 aleks.larin
Слайд 11
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб АВСD
с
диагоналями АС = 8 и ВD = 6.
а) Докажите,
что прямые ВD1 и АС перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми ВD1 и АС, если известно, что боковое ребро
призмы равно 12.
Вариант 124 aleks.larin
Задача на нахождение
расстояния между двумя прямыми.
Слайд 12
Решение.
Введём декартову систему координат. Чтобы вычислить координаты т.К,
воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок
BD1 в отношении λ=ВК:КД1 ,где К(х;у;z)
Слайд 13
Расстояние между точками А и В можно вычислить:
по
формуле
,
где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);
Слайд 14
Задача на нахождение
расстояния между двумя точками.
В кубе
АВСDA1В1С1D1 АВ =6, точка Р середина ребра АД,
а точка М расположена на диагонали СС1 так, что СМ = 2МС1. Найдите расстояние между точками Р и М.
Слайд 15
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного
угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его
ребру.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:
по формуле
или в координатной форме
где - вектор нормали плоскости Ах+Ву+Сz+D=0,
Слайд 16
Задача на нахождение
угла между двумя плоскостями.
В единичном
кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC,
где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1.
Слайд 17
Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей
Слайд 18
Как вы видите, все те соотношения, которые при
решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение
большого количества вспомогательных теорем), координатным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.
