Презентация на тему к исследовательской работе по теме: Квадратные уравнения

анализ решения квадратных уравнений разными возрастами, создать шпаргалку по

различным методам решения квадратных уравнений.

сформулировать все определения, используемые при решении данной задачи;
- изучить

всевозможные способы решения квадратных уравнений, выявить плюсы и минусы;
- принять участие в проводимом исследовании решения квадратных уравнений:
- подготовить компьютерную презентацию результатов работы.

дополнительные знания, которыми смогу пользоваться на экзамене и в

дальнейшей жизни; студенты получат листовки-шпаргалки с формулами по которым решаются квадратные уравнения не стандартными методами».

способы представления результатов;
Выработать критерии оценки результатов и процесса работы.
план

работы:

в Индии
3.Квадратные уравнения у Аль-Хорезми
4.Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в
5.Способы

решения квадратных уравнений

только первой, но и второй степени еще в древности

была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом

дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г.

индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а>
В уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не

вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 +

21 = 10х).
Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге

абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв.

каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных

комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

+ 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть

на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.
х + 12= 0 или х – 2=0
х=-12 х=2
Ответ: -12; 2.

- 7 = 0.
Выделим в левой части полный

квадрат:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
тогда, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0,
(х + 3)2 = 16.
х + 3=4 или х + 3 = -4
х1 = 1 х2 = -7
Ответ: 1; -7.

ах2 + bх + с = 0, а ≠

0на 4а, тогда
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
1. Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac >0, уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень .
3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Приведенным квадратным

уравнением называется уравнение вида где старший коэффициент равен единице.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

bх + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая

обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,
равносильно данному.
Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:
х1 = у1/а и х1 = у2/а.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

номограммы.
 
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-
там определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.10):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из
подобия треугольников САН и CDF получим
пропорцию
Рис.10
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0,
Рис.11
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

нужную литературу;
составил квадратные уравнения;
- раздал уравнения обучающимся 1 курса,

для решения им и их родственникам (родители, бабушки, дедушки, дяди, тети).
- проверил решения предоставленные испытуемыми;
- обработал результаты:
Из 4 групп первого курса принимавших участие в эксперименте 80 человек, их родственники 50 человек. При обработке результатов было видно, что все испытуемые использовали один и тот же способ решения квадратных уравнений с помощью формул ( находили дискриминант), правильных решений уравнений с помощью дискриминанта в возрастной группе от 15 до 17 лет было 81,25 %, не верных 18,75. Во второй возрастной группе от 18 до 60 лет было решено верно 34 % не решено или решено не верно 66%.