Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Использование производной для исследования функции и построения графика функции (10 класс)

Содержание

СодержаниеОпределение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность)Нахождение точек экстремума функцииПостроение графиков функцийНахождение наибольшего и наименьшего значений функцииРабота с графиками функцийПроверь себя
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙк исследованию функции и построению графика функции СодержаниеОпределение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность)Нахождение точек экстремума Исследование функции на монотонность  (т.е. определение промежутков возрастания и убывания функции). Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из Вспомним Возрастание и убывание функции можно изобразить такИду в гору. Функция возрастает на Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и  производную . Теорема: Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то а) Алгоритм исследования функции на монотонностьНайти производную функции f ΄(х)Найти стационарные (f ΄(х) ОпределенияВнутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются Например: найти промежутки монотонности функции  f(x) = x³ - 6x² + Найти промежутки  монотонности  функции у = 2х³ +3х² -100 у Нахождение точек экстремума          функции ОпределенияТочка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у этой ОпределенияЗначение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке вокруг ТеоремаПусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри х0б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х0в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и Алгоритм нахождения точек экстремума функцииНайти производную функции f ΄(х)Найти стационарные и критические Например: найти точки         экстремума Найдите точки экстремума функции и определите их характеру = 7 + 12х Построение     графиков        функций В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции План построения графика функции с помощью производнойНайти область определения функции и определить Как найти промежутки выпуклости, вогнутости  и  точку перегиба графика функцииПромежутки Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:Находят f΄(х), а затем 0 Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой Найти интервалы выпуклости и точку перегиба  функцииРешение.Найдем у΄(х) и у΄΄(х): Например: исследовать функцию  у = 2х³+3х² -1 и  построить её Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные):т.к. х=-1 – точка максимума, то ↓Составим таблицу:Найдем f ΄΄(х).        f΄΄(х) хПостроим график функции:ху0-1-241-5 Исследовать функцию и Нахождение   наибольшего   и  наименьшегозначений   непрерывной ТеоремаДифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;в]1) Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции  у= х³ - 3х² Решение.  б) на [-2;2]   1) у΄= 3х² - 6х Самостоятельно  найдите    наименьшее и наибольшее   значения Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. 1) у = Работа   с графиками          функций № 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о Проверим ответы 1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х) ≤ № 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], б) а=0, в=5, f΄(х) № 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция № 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума № 5. По графику функции определить:  а) сколько точек экстремума имеет Ответ № 6. Дан график производной некоторой  функции. Определить промежутки, на которых функция убывает? Ответ Верно или не верно №11. График производной. Точки х=-1, х=1, 4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?5. Точка экстремума является критической № 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание0хуХ1Х2Х3Х4 ДаТочка х1 – точка минимума.Точка х1 – точка перегиба.В точках х2 и Используемые ресурсыУчебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина, 2012Задачник
Слайды презентации

Слайд 2 Содержание
Определение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции

СодержаниеОпределение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность)Нахождение точек

на монотонность)
Нахождение точек экстремума функции
Построение графиков функций
Нахождение наибольшего и

наименьшего значений функции
Работа с графиками функций
Проверь себя

Слайд 3
Исследование функции на монотонность
(т.е. определение
промежутков

Исследование функции на монотонность (т.е. определение промежутков возрастания и убывания функции).

возрастания и убывания функции).


Слайд 4
Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить,

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках

на каких промежутках из области определения

функция возрастает,
а на каких – убывает.

Слайд 5


Вспомним

Вспомним

Слайд 6 Возрастание и убывание функции можно изобразить так
Иду в

Возрастание и убывание функции можно изобразить такИду в гору. Функция возрастает

гору. Функция возрастает на промежутке[b;a]
Иду под гору. Функция убывает

на промежутке[a;с]


Слайд 7 Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно

Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и производную .

использовать и производную .


Слайд 8 Теорема:
Если f(x) – непрерывна на промежутке и

Теорема: Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то

имеет f´(x), то
а) если f´(x) > 0, то

f(x) – возрастает
б) если f´(x) < 0, то f(x) – убывает
в) если f´(x) = 0, то f(x) – постоянна
(константа)


Слайд 9 Алгоритм исследования функции на монотонность
Найти производную функции f

Алгоритм исследования функции на монотонностьНайти производную функции f ΄(х)Найти стационарные (f

΄(х)
Найти стационарные (f ΄(х) = 0) и критические (f

΄(х) не существует) точки функции у= f(х)
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой
Определить знаки производной на получившихся промежутках
По знаку производной определить промежутки монотонности функции
(если f ΄(х) > 0 – функция возрастает; если f ΄(х) < 0
функция убывает; если f ΄(х) =0 – функция постоянна)

Слайд 10 Определения
Внутренние точки области определения функции, в которых производная

ОпределенияВнутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю,

функции равна нулю, называются стационарными.
Внутренние точки области определения функции,

в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими


Слайд 11 Например: найти промежутки монотонности функции f(x) =

Например: найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² +

x³ - 6x² + 9x – 1
1) f´(x) =

3x² - 12x + 9
2) Найдем стационарные точки:
f´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0
x² - 4x + 3 = 0
x = 1 и х = 3
3)
4)

5) f ´(x) > 0, при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞)
f ´(x) < 0, при х ϵ (1; 3)
Ответ: при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает

х

1

3

f ´(x)

f(x)

+

+

-


Слайд 12 Найти промежутки монотонности функции


у =

Найти промежутки монотонности функции у = 2х³ +3х² -100 у =

2х³ +3х² -100
у = х³ + 2х² +

6
у = 5х² + 15х - 1
у = 60 + 45х – 3х² - х³
у = - 3х + 6х² - 100

Слайд 13

Нахождение
точек экстремума

Нахождение точек экстремума     функции

функции


Слайд 14 Определения
Точка хо называется точкой минимума функции у =

ОпределенияТочка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у

f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех

точек которой выполняется неравенство
f(х) ≥ f(хо)
Точка хо называется точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство
f(х) ≤ f(хо)

Слайд 15 Определения
Значение функции в точке максимума обозначают уmax (но

ОпределенияЗначение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке

на определенном участке вокруг точки максимума, а не на

всей области определения функции – это унаиб. )
Значение функции в точке минимума обозначают уmin (но это не унаим. функции на всей области определения)
Точки минимума и максимума называются точками экстремума

Слайд 16 Теорема
Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке

ТеоремаПусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет

Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку

х=х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f΄(х) <0, а при х>х0 - неравенство f΄(х) >0, то
х0 – точка минимума функции у = f(х)

х0

- min


Слайд 17 х0
б) если у этой точки существует такая окрестность,

х0б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при

в которой при х 0,

а при х>х0 - неравенство f΄(х) <0, то
х0 – точка максимума функции у = f(х)


х0

- max


Слайд 18 х0
в) если у этой точки существует такая окрестность,

х0в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней

что в ней и слева и справа от точки

х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба)

х0

х0

экстремума нет


Слайд 19 Алгоритм нахождения точек экстремума функции
Найти производную функции f

Алгоритм нахождения точек экстремума функцииНайти производную функции f ΄(х)Найти стационарные и

΄(х)
Найти стационарные и критические точки функции у = f(х)
Отметить

стационарные и критические точки на числовой прямой
Определить знаки производной на получившихся промежутках
Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′(Х0) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).

Слайд 20 Например: найти точки

Например: найти точки     экстремума функцииРешение. 1) у΄=12

экстремума функции


Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х²

+ 48х =
= 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)²
2) у΄=0 при х =0 и х =2 (стационарные точки)
3)
4)

5) Значит: х = 0 – точка минимума,
х = 2 - точка максимума.


х

0

2

-

-

+

f ´(x)


Слайд 21 Найдите точки экстремума функции и определите их характер
у

Найдите точки экстремума функции и определите их характеру = 7 +

= 7 + 12х - х²
у = 3х³ +

2х² - 7
у = -2х³ + 21х² + 19
у = 3х² - х³
у = х + 4/х


Слайд 22
Построение
графиков

Построение   графиков    функций

функций


Слайд 23
В тех случаях, когда речь идет о

В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой

построении графика незнакомой функции или
когда заранее

трудно представить вид графика,
используют следующий алгоритм:


Слайд 24 План построения графика функции с помощью производной
Найти область

План построения графика функции с помощью производнойНайти область определения функции и

определения функции и определить точки разрыва если они существуют
Выяснить

является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность
Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно
Найти стационарные и критические точки
Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности
Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции
Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)


Слайд 25 Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функцииПромежутки выпуклости

точку перегиба графика функции
Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно

находить с помощью производной.
Теорема. (признак вогнутости и выпуклости)
Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Слайд 26 Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:Находят f΄(х), а

алгоритм:
Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х)
Находят точки, в

которых f ΄΄(х) = 0
Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции
Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если
f ΄΄(х)>0 - вогнута

Слайд 27 0
Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая

0 Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть

отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части.



Точкой перегиба

кривой графика функции будут те точки, в которых
f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак.

0

х0


Слайд 28 Найти интервалы выпуклости и точку перегиба

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функцииРешение.Найдем у΄(х) и у΄΄(х):

функции
Решение.
Найдем у΄(х) и у΄΄(х):
у΄(х) = 4х³-12х

=> у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1)
Найдём стационарные точки второго порядка,
т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1
х = ±1


Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1

1

-1

у΄΄(х)

+

+

-


Слайд 29 Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и

Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её графикРешение.

построить её график
Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не

определена
Найдем стационарные точки:
т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0
тогда х=0 и х=-1 стационарные точки
Найдем точки экстремума:
т.к.

и х=-1 – точка максимума
х= 0 – точка минимума

х

0

-1

f´(x)

+

+

-

f(x)


Слайд 30
Найдем промежутки монотонности:
при x ϵ (-∞; -1]

Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; +

и [0; + ∞) - функция возрастает
при

x ϵ [-1; 0] - функция убывает
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
если х=0, то у=-1 => (0;-1)
если у=0, то х= -1 => (-1; 0)

Слайд 31
Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные):
т.к. х=-1

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные):т.к. х=-1 – точка максимума,

– точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0) -точка

локального максимума
т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1
=> (0;-1) -точка локального минимума
если х=1, то у=4 => (1;4)
если х=-2, то у=-5 => (-2;-5)
Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы.

Слайд 32
Составим таблицу:







Найдем f ΄΄(х).

↓Составим таблицу:Найдем f ΄΄(х).    f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1)

f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1)
f΄΄(х)=0 =>

6(2х+1)=0 => х = -0,5 - точка перегиба
т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0,
а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0
Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно

Слайд 33 х
Построим график
функции:

х
у
0
-1
-2
4
1
-5





хПостроим график функции:ху0-1-241-5

Слайд 34 Исследовать функцию и

Исследовать функцию и      построить её график1)

построить её график
1) у =

3х² - х³
2) у = - 9х + х³
3) у = х³ - 3х² + 2
4) у = - х³ + 6х² - 5
5) у = 3х³ + х² - 8х – 7
6) у = (х)/(1+х²)

Слайд 35
Нахождение
наибольшего
и

Нахождение  наибольшего  и наименьшегозначений  непрерывной

наименьшего
значений
непрерывной


функции
на промежутке

Слайд 36 Теорема
Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция

ТеоремаДифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего

у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка

[a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b).

Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение

Слайд 37 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке

у=f(х) на отрезке [а;в]
1) Найти производную f ΄(х)
2)

Найти стационарные и критические точки функции и проверить принадлежат ли они
отрезку [а;в]
3) Вычислить значение функции у=f(х)
на концах отрезка, т.е в точках х=а и х=в
в стационарных и критических точках, принадлежащих [а;в]
4) Выбрать среди найденных значений наименьшее (это и будет Унаим.) и наибольшее (это и будет Унаиб.)

Слайд 38 Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у=

Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х²

х³ - 3х² - 45х + 1 на

отрезках а)[-4;6] б) [-2;2]

а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45
2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 =>
х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6]
3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5):
Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82;
у(5)=-174.
Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82.

Решение.


Слайд 39
Решение. б) на [-2;2]

Решение. б) на [-2;2]  1) у΄= 3х² - 6х –

1) у΄= 3х² - 6х – 45

2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ¢ [-2;2]
х2= 5 ¢ [-2;2]
3) Найдём у(-2); у(2):
Получили у(-2)= 71; у(2)=-93
Значит: Унаим = - 93; Унаиб = 71.



Слайд 40 Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее

Самостоятельно найдите  наименьшее и наибольшее  значения функции

значения функции у= х³ -

3х² - 45х + 1 на отрезке [0;6]

Ответ: Унаим. = -174 (достигается в точке х=5)
Унаиб. = 1 (достигается в точке х=0)


Слайд 41 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. 1) у

промежутке.
1) у = х²-8х+19 на [-1;5]
2)

у = х³-9х²+24х-1 на [-2;3]
3) у = х+4/(х+1) на [-2;0]
4) у = х³-2х²+1 на [0,5;+∞)
5) у = 0,2х-х² на (-∞; 1]


Слайд 42
Работа
с графиками

Работа  с графиками     функций

функций


Слайд 43
№ 1. По графику функции ответьте на вопросы

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы

Слайд 44
1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно

1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной

сказать о производной в точке х1? 3) Назовите точки

экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2)? 5) Укажите промежутки возрастания функции.
6) Отметьте критические точки

Слайд 45 Проверим ответы
1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х)

Проверим ответы 1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х)

≤ 0. 5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция возрастает.
6. х2


Слайд 46 № 2. Постройте график непрерывной функции у =

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на

f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4,

f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3 б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2

График.
а)

-1

1

1

3

4



Слайд 47 б) а=0, в=5, f΄(х)

б) а=0, в=5, f΄(х)

Слайд 48 № 3. По графику производной некоторой функции укажите

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых

интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум,

имеет минимум.

Слайд 49 № 4. На рисунке изображён график производной функции

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек

y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.


Слайд 50 № 5. По графику функции определить: а) сколько

№ 5. По графику функции определить: а) сколько точек экстремума имеет

точек экстремума имеет функция? б) при каких х принадлежащих

[-4;4]функция достигает наименьшего и наибольшего значения?



Слайд 51 Ответ

Ответ

Слайд 52 № 6. Дан график производной некоторой функции.

№ 6. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Определить промежутки, на которых функция убывает?


Слайд 53 Ответ

Ответ

Слайд 54 Верно или не верно №1
1. График

Верно или не верно №11. График производной. Точки х=-1, х=1,

производной. Точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума?



2.

Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка. Верно ли?
3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка. Верно ли?


Слайд 55
4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?
5.

4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?5. Точка экстремума является

Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?
6. Функция y(x)

непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума?



Слайд 56 № 2. По данному графику функции определить верно

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание0хуХ1Х2Х3Х4

или нет высказывание

0
х
у
Х1
Х2
Х3
Х4


Слайд 57 Да
Точка х1 – точка минимума.
Точка х1 – точка

ДаТочка х1 – точка минимума.Точка х1 – точка перегиба.В точках х2

перегиба.
В точках х2 и х4 касательная параллельна оси абсцисс
В

точке х3 производной не существует.
Точка х4 – точка экстремума
Точка х4 – точка минимума
Точка х4 – стационарная точка
Точка х3 – точка экстремума
Точка х2 – точка максимума

Да

Да

Да

Да

Да

Да

Да

Нет

Нет


  • Имя файла: ispolzovanie-proizvodnoy-dlya-issledovaniya-funktsii-i-postroeniya-grafika-funktsii-10-klass.pptx
  • Количество просмотров: 188
  • Количество скачиваний: 1