Презентация на тему Применение производной для исследования функций

на
[а;в]

у
х
У=f(x)
x1
х2

а
в

У

Х

Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
f '(x)>0
4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+».

у=f(x)

х2

х1

у
Если в каждой точке

интервала I f '(x)<0, то функция у = f(x) монотонно убывает на этом промежутке.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
f '(()) <0
4. Выписать промежутки , где производная имеет знак «-».

Х

0

х0

У = f(x)

у = f(x)


о х
а в

Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда
f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала.

функции
У = f(x) , то эта точка является

критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует.

Если f '(x)>0 при х < x0
и f '(x)<0 при х > x0 ,
то Х0 – точка максимума.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Если функция у = f(x) непрерывна в точке
Х0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке , то Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА
функции у = f (x)

Если f '(x)<0 при хи f '(x)>0 при x>Х0 ,
то Х0 – точка минимума.

f '(x)>0

f '(x)=0

f '(x)<0

Х мах

Х min

f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ

Хмах

У

Х

?

ЭКСТРЕМУМОВ

Характер изменения функции
- 2
3
+
-
+

ы
Прямая у = кх +в называется асимптотой графика

функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до прямой
у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки М.

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции
у = f(x), если lim f(x) = ∞
х→ а
Прямая у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если
lim f(x)=b
х→∞
Прямая у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если lim f(x) =к
х →∞ х
lim ( f(x)─kx ) = b
Х→∞

х

У у = в

У= f(x)

у

0

а

Х = а

М.

.М

0 Х

У = f(x)

. М

у = кх + в

y=f(x)

У

0

Х

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И

НЕЧЕТНОСТЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК.
НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений

на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

f(b) у =f(x)


f(a)
f(xmin)
0 а Хmin в х
Хmax
maх f(x) = f (xmax)
[a;b]
min f(x) = f (xmin)
[a;b]

0 а Хmax в х

min f(x)=f(b)
[a;b]
max f(x)=f(xmax)
у [а;b]

0 а Хmin Хmax b х
maxf(x)=f(a)
[а;b] minf(x)=f(b)
[a;b]

у

f(xmax)

у

f(b)

f(a)

f(xmax)

у

f(a)

f(xmax)

f(xmin)

f(b)