Презентация на тему Решение нелинейных уравнений

характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и

трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предлагаемого характера и числа решений (Рисунок 1).
Рисунок 1. Классификация уравнений








Одно уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений. Систему уравнений будем называть линейной или нелинейной в зависимости от математической природы входящих в нее уравнений.

алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только

алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
точные методы;
итерационные методы.
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими

производными 1-го и 2-го порядка.
Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) ⋅ f(b) < 0).
Первая и вторая производные f ′ (x) и f ″ (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

оно корни, сколько корней и найти значения корней с

нужной точностью.
Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

2 = 0.
Составим приблизительную схему:






Следовательно, уравнение имеет три

действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.
В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс,

достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением: ,
где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

= 1.
Уравнение удобно переписать в виде
равенства :l

g x= . Отсюда ясно, что корни уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения или определим его содержащий отрезок [2, 3].

начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В

результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [a, b],

делим этот отрезок пополам. Если f = 0 , то ξ =

является корнем уравнения. Если f ≠ 0 (что, практически,

наиболее вероятно), то выбираем ту из половин или ,
на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [а1, b1] снова делим пополам и производим те же самые действия.
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.

+ 2 – x – 1

= 0
лежащий на отрезке [0, 1].
Последовательно имеем:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = - 1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59;
f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,304;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043 и т. д.
Можно принять
ξ = (0,859 + 0,875)*0,5 = 0,867

том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются

значения х1, х2, ..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:


Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:

Рисунок 3. Метод хорд

(случай f ″ (x) 

уравнение в виде ‑ f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, б).
В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x0 = b


образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем
Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x0 = а;


образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем

которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее

второй производной f ″ (х);
последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня ξ, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f ″ (х).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что⏐ ⏐< ε,
где ε - заданная предельная абсолютная погрешность.

– 0,2 х – 1,2 = 0 с

точностью ε = 0,01.
Прежде всего, отделяем корень. Так как f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,
то искомый корень ξ лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как
f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< ξ < 1,5.
Так как f ″ (x) = 6 x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой для решения поставленной задачи:

= 1,15; ⏐x1 – x0 ⏐ = 0,15 > ε ,

следовательно, продолжаем вычисления; f (х1) = -0,173;

= 1,190;
⏐x2 – x1 ⏐ = 0,04 > ε , f (х2) = -0,036;
= 1,198;

⏐x3 – x2 ⏐ = 0,008 < ε .
Таким образом, можно принять ξ = 1,198 с точностью ε = 0,01.
Заметим, что точный корень уравнения ξ = 1,2.

в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится

касательная к кривой y = f(x) при x = хi и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (Рисунок 4). При этом не обязательно задавать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения , достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x = х0.
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот конец интервала [а, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак f ″ (х).
Рисунок 4. Метод Ньютона

через точку В0 с координатами х0 и f(х0), имеет

вид:

Отсюда найдем следующее приближение корня х1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0):


Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пресечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках В1, В2 и так далее. Формула для i +1 приближения имеет вид:


Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие ⎪f(xi)⎪ < ε, или условие близости последовательных приближений⏐ ⏐< ε.
Итерационный процесс сходится если f(х0) ⋅ f ″ (х0) > 0.

уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением x =

ϕ(x). Пусть известно начальное приближение корня х = х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения , получим новое приближение:х1 = ϕ(х0).
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в , получаем последовательность значений:
Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = ϕ(х). Каждый действительный корень уравнения является абсциссой точки пересечения М кривой у = ϕ(х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).

строим ломаную А0В1А1В2А2... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси

Ох и оси Оу, вершины А0, А1, А2, ...лежат на кривой у=ϕ (х), а вершины В1, В2, В3, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А1 и В1, А2 и В2, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х1, х2, ... корня ξ.
Возможен также другой вид ломаной А0В1А1В2А2 ... – «спираль» (Рисунок 6, б). Решение в виде «лестницы» получается, если производная ϕ′ (х) положительна, а решение в виде «спирали», если ϕ′ (х) отрицательна.
На Рисунке 6, а, б кривая у = ϕ(х) в окрестности корня ξ- пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится.

>1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема: Пусть функция ϕ(х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения ϕ(х) ∈ [a, b].
Тогда, если существует правильная дробь q такая, что q < 1
при a < x < b, то: 1) процесс итерации
сходится независимо от начального значения х0 ∈ [a, b];
2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = ϕ(х) на отрезке [a, b].

0 имеет корень ξ ∈ [1, 2], так как

f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.
Уравнение можно записать в виде х = – 1. Здесь ϕ(х) = – 1 и ϕ′ (х) = 3 ;
Поэтому ϕ′ (х) ≥ 3 при 1 ≤ х ≤ 2
и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.
Если записать уравнение в виде
то будем иметь:

Отсюда при 1 ≤ х ≤ 2 и значит, процесс итерации
для уравнения быстро сойдется.

Уравнение

. Вычисляем последовательные приближения хn с

одним запасным знаком по формуле


Найденные значения помещены в Таблицу 1:
Таблица 1
Значения последовательных приближений xi.




С точностью до можно положить ξ = 1,324.