Презентация на тему Решение уравнений с квадратным корнем

помощью Дискриминанта

имеет данное квадратное уравнение.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

она позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.
Таким образом, квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 ,
если D > 0, то имеет два различных корня;
если D = 0, то имеет единственный корень;
если D < 0, то не имеет корней.

Назад

= 0, разложим левую часть уравнения на множители;

х2 – 2х – 2х + 4 = 0,
х ( х – 2 ) – 2 ( х – 2 ) = 0,
( х – 2 )( х – 2 ) = 0, произведение равно нулю, значит хотя бы один из его множителей равен нулю
х – 2 = 0,
х = 2.
Ответ: 2.

Пример 2
х2 + 10х – 24 = 0,
х2 + 12х – 2х – 24 = 0,
х ( х + 12 ) – 2 ( х + 12 ) = 0,
( х + 12 ) ( х – 2 ) = 0,
х + 12 = 0 или х – 2 = 0
х = - 12 х = 2.
Ответ: -12 и 2.

Назад

4 = 0, используем формулу сокращенного умножения;

( х – 2 )2 = 0,
х – 2 = 0,
х = 2.
Ответ: 2

Пример 2
х2 + 6х – 7 = 0, выделим в левой части полный квадрат
х2 + 2х · 3 + 32 – 32 – 7 = 0, первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32.
Преобразуем левую часть уравнения прибавляя к ней и вычитая 32.
( х + 3 )2 – 9 – 7 = 0,
( х + 3 )2 – 16 = 0,
( х + 3 )2 = 16,
х + 3 = 4 или х + 3 = - 4
х = 1 х = - 7.
Ответ: 1 и -7 .

Назад

имеет вид х2 + рх + q = 0.
Его

корни удовлетворяют теореме Виета: х1 · х2 = q
х1 + х2 = - р.
По коэффициентам можно предсказать знаки корней:

Свободный член «+»

Свободный член «-»

Назад

то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и

это зависит от второго коэффициента.
Если q > 0 и р > 0 , то оба корня отрицательны.
Если q > 0 и р < 0 , то оба корня положительные.

Пример 1
х2 + 10х + 9 = 0,
х1 = - 1 и х2 = - 9,
т.к. q = 9 > 0 и р = 10 > 0;
Пример 2
х2 – 6х + 9 = 0,
х1 = 3 и х2 = 3,
т.к. q = 9 > 0 и р = - 6 < 0.

Назад

то уравнение имеет два различных по знаку корня.
Если q

< 0 и р > 0 , то больший по модулю корень будет отрицателен.
Если q < 0 и р < 0, то больший по модулю корень будет положителен.

Пример 1
х2 + 2х – 8 = 0,
х1 = - 4 и х2 = 2,
т.к. q = - 8 < 0 и р = 2 > 0 ;
Пример 2
х2 – 2х – 15 = 0,
х1 = 5 и х2 = - 3,
т.к. q = - 15 < 0 и р = - 2 < 0.

Назад

на а, получаем уравнение
а 2 х2 + аb

х + а с = 0.
Пусть а х = у, откуда ; тогда получим уравнение у2 + bу + а с = 0,
равносильное данному. С помощью теоремы Виета найдем корни: у1 и у2,
где у1 у2 = ас и у1 + у2 = - b.
Окончательно получаем и .
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример
2х2 – 11х + 15 = 0, «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену:
у2 – 11у + 30 = 0, согласно теореме Виета найдем корни:
у1у2 = 30 и у1 + у2 = 11,
у1 = 5 и у2 = 6, окончательно получим:
х1 = 5/2 и х2 = 6/2,
х1 = 2,5 и х2 = 3.
Ответ: 2,5 и 3.

Назад

ах2 + bх + с = 0, где а

≠ 0.

Первое свойство

Второе свойство

Третье свойство

Назад

а + b + с = 0, то х1

= 1, х2 = .
Доказательство: Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета: х1 · х2 = , х1 + х2 = - .
По условию, а + в + с = 0, тогда в = - а - с. Значит,
х1 · х2 = = 1 · , х1 + х2 = - = - = 1 + .
Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.
Пример
3х2 + 5х – 8 = 0,
т.к. а + b + с = 0
( 3 + 5 – 8 = 0 ), то получим
х1 = 1, х2 = = -
Ответ: 1 и -

Назад

= 0, или b = а + с,

то х1 = -1, х2 = - .
Доказательство аналогично.

Пример
11х2 + 27х + 16 = 0,
Т.к. а - в + с = 0 (11 – 27 + 16 = 0 ), значит
х1 = - 1, х2 = - = - .
Ответ: -1 и -

Назад

четное число, то формулу корней можно записать в виде

.

Пример
4х2 – 36х + 77 = 0,
а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18;
D = k2 – ас = ( - 18 )2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16, D > 0, два различных корня;

х1 = 5, 5 , х2 = 3,5.
Ответ: 5,5 и 3,5.

Назад

рх + q = 0 и получим вид:

х2 = - рх - q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = - рх - q .
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая . (приложение 1, рис.1).
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться и имеют одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Назад

Примеры

запишем уравнение в виде х2 = 3х +

4, рассмотрим графики зависимостей у = х2 и у = 3х + 4,
Построим параболу у = х2 по координатам:



Прямую у = 3х + 4 построим по двум точкам М (0; 4) и N(3; 13) (приложение 1, рис.2).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1= -1 и х2=4.
Ответ: - 1 и 4 .
Пример 2.
х2 – 2х + 1 = 0,
Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую
у = 2х - 1 по двум точкам М(0; -1) и N(1\2; 0) (приложение 1, рис.3).
Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1.
Ответ: 1.
Пример 3.
х2 – 2х + 5 = 0,
Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую
у = 2х - 5 по двум точкам М( 0; -5) и N( 2,5; 0) (приложение 1, рис.4).
Прямая и парабола не имеют точек пересечения, значит данное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.

Назад