Сторона основания правильной треугольной призмы А…С1 равна 1, высота
равна . Через вершины А, В1 и середину М ребра СС1 проведена плоскость. Найдите синус угла между ребром АС и плоскостью АМВ1.
Решение.
Воспользуемся правилом 9. Через точку Р середину ребра АА1 проведем плоскость С1РК параллельно плоскости МАВ1, РС1АМ, РКАВ1, отсюда (РКС1)(АМВ1).
Рассмотрим угол между С1А1 и плоскостью (С1РК), где С1А1СА.
△С1КР –прямоугольный, так как С1КА1В1, С1КВВ1, отсюда С1К(АВВ1) и, значит, С1КРК. РА1А1С1, РА1А1К, значит, РА1(А1КС1). РА1= , РК=0,5, А1К=0,5.
Нам надо найти угол между прямой А1С1 и плоскостью (РКС1).Так как прямая РА1(А1КС1), то РА1КС1.
Проведем высоту А1S к гипотенузе РК в прямоугольном треугольнике РА1К.
КС1А1К, КС1РА1, отсюда КС1А1S. A1SKC1, A1SPK, отсюда А1S(PKC1), а, значит, A1SSC1, SC1A1 – искомый. A1C1S=A1S:A1C1.
Найдем А1S из △РА1К. А1S·PK=PA1·A1K, A1S= ,
A1C1S= :1= .
Ответ : .