Презентация на тему по геометрии по теме Инверсия

решении задач на построение;
Как выполнить такое построение;
Дать определение

инверсии, её свойств;
Рассмотреть построения с помощью инверсии.

себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка

', лежащая на луче и удовлетворяющая условию
|OP| · |OP'| = ,

и наоборот (поэтому говорят также о зеркальном отображении относительно

окружности); точки самой окружности инверсии остаются неподвижными, то есть преобразуются сами в себя.
Преобразование, обратное для данной инверсии, есть также инверсия, то есть если точка Р переходит при инверсии в точку Р', то одновременно, обратно, точка Р' переходит в точку Р.

в окружности, не проходящие через O.
   б) Окружности, проходящие

через O, преобразуются в прямые, не проходящие через O.
 в) Прямые, не проходящие через O, преобразуются в окружности, проходящие через O; прямые, проходящие через O, преобразуются сами в себя.

в окружность, проходящую через центр инверсии, причём касательная к

этой окружности в центре инверсии параллельна данной прямой.
Прямые, параллельные и не проходящие через центр инверсии, преобразуются в окружности, касающиеся друг друга в центре инверсии и обратно.
Инверсия есть конформное преобразование, то есть при инверсии угол между двумя кривыми в точке их пересечения сохраняется.
При этом, если углы рассматривать как ориентированные, то ориентация углов при применении инверсии изменяется на противоположную.

две произвольные окружности, или окружность и прямая, или две

параллельные прямые, всегда можно их преобразовать друг в друга при помощи инверсии, если к инверсии причислить его предельный случай – симметрию относительно прямой.
       8. Всякую окружность (или прямую) можно при помощи инверсии преобразовать саму в себя так, чтобы две фиксированные точки этой окружности (или прямой) переходили друг в друга.
При инверсии плоскость, проходящая через центр инверсии (без центра инверсии), преобразуется в себя.

попарно в точках A и B, образуют гиперболический пучок

окружностей, имеющий точки A и B предельными точками и прямую AB линией центров.
б) Ортогональные траектории параболического пучка окружностей образуют также параболический пучок окружностей с тем же центром пучка и с линией центров, перпендикулярной к линии центров данного пучка.
в) Ортогональные траектории гиперболического пучка окружностей с предельными точками A и B образуют эллиптический пучок окружностей, попарно пересекающихся в точках A и B.

точке P, то инверсные им кривые пересекаются в точке

Р1, инверсной точке Р.
Теорема 2. Прямая, проходящая через центр инверсии О, сама себе инверсна.
Теорема 3 . Кривая, инверсна данной прямой , не проходящей через центр инверсии, есть окружность, проходящая через центр инверсии , причем всегда .

(О1; R), не проходящей через центр инверсии, есть так

же окружность. Центр инверсии является при этом центром подобия этих окружностей.

Все построения, выполненные с помощь циркуля и

линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Штейнера
Случай пересечения

Случай касания

так называемое утверждение Штейнера (Steiner's porism): если существует хотя

бы одна цепочка Штейнера (т.е. существует соответствующее положение стартовой касающейся окружности, приводящее к цепочке Штейнера), то при любом другом выборе стартовой касающейся окружности также будет получаться цепочка Штейнера, причём число окружностей в ней будет таким же.

окружностей.

Липкина-Поселье