b, ВС = а, АВ = с
Доказать, что с²
= а ² + b ²
Доказательство:
Пусть катет в > а. Продолжим отрезок СВ
за точку В и построим ∆ВМД так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой СД и, кроме того, ВД = b, ВДМ = 90°, ДМ = а, тогда ∆ВМД = ∆АВС по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками АМ. Имеем МД СД и АС СД, значит, прямая АС параллельна прямой МД. Так как МД АС, то прямая СД и АМ не параллельны. Следовательно, АМДС – прямоугольная трапеция.
В прямоугольных ∆АВС и ∆ВМД 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как 1 = 3, то 3 + 2 = 90°, тогда ∆АВМ = 180° - 90° = 90°. Оказалось, что трапеция АМДС разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей SАВС + SАВМ + SВМД = Sтрапеции или
Разделим все члены неравенства на , получим
,
откуда
