Презентация на тему Свойства треугольника

не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно

соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а

третья сторона называется основанием треугольника.






Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

основание

А

В

С

с серединой противолежащей стороны этого треугольника.




Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает

треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

его вершины, проходит между его сторонами и делит данный

угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Биссектриса внутреннего угла

треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.





Свойства высот треугольника
В

прямоугольном треугольникеВ прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольникеВ остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
Каждая

точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна

одной из его сторон и равна половине этой стороны.

М

Е

А

В

С

соответственно равны:
две стороны и угол между ними;
два угла

и прилежащая к ним сторона;
три стороны.

у них соответственно равны:
гипотенуза и острый угол;
катет и

противолежащий угол;
катет и прилежащий угол;
два катета;
гипотенузагипотенуза и катет.

следующих условий, называемых признаками подобия:
два угла одного треугольника равны

двум углам другого треугольника;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высотыВ подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианыВ подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

коэффициент пропорциональности равен диаметруСтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов,

причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус

угла между ними:
a2= b2+ c2- 2bc cos (bc)

угол между сторонами a и b;— полупериметр; R —

радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a. S = aha
S = ab sin α
S = pr

гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.
S =

ab
S = chc

Доказательство
Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB

. Рассмотрим Δ  BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC  =  BC ; BC  =  AC ; C  =  C . Отсюда следует A  =  B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Рисунок 4.3.1.

Доказательство
Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ  ACD  = Δ  BCD .
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD  =  BCD ,  ADC  =  BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.
Признаки равнобедренного треугольника.