Слайд 2
Цели урока:
Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
Доказать лемму
о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
Дать определение
перпендикулярности прямой и плоскости;
Доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости.
Слайд 3
ВСПОМНИМ ПЛАНИМЕТРИЮ
Каково может быть взаимное расположение двух прямых
на плоскости?
Какие прямые в планиметрии называются перпендикулярными?
а
а
в
а
в
Слайд 4
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
а
в
с
d
m
n
k
m
Слайд 5
Дано: АВСDA1B1C1D1 – параллелепипед, угол ВАD равен 300.
Найдите углы между прямыми АВ и А1D1; А1В1 и
АD; АВ и В1С1.
А
А1
В
В1
С
С1
D
D1
300
Слайд 6
Модель куба.
D1
В
А1
А
D
С1
С
В1
Как называются
прямые АВ
и ВС?
Найдите угол между
прямыми АА1 и
DC;
ВВ1 и АD.
В пространстве
перпендикулярные прямые
могут пересекаться
и могут скрещиваться.
Слайд 7
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две
прямые в пространстве
называются
перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 90°.
Обозначается a ┴ b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Слайд 8
Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC.
D1
В
А1
А
D
С1
С
В1
АА1
ǁСС1 ; DC СС1
АА1
DC
Если одна из параллельных
прямых перпендикулярна
к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна
к этой прямой.
Слайд 9
Свойства :
1. Если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых,
то она перпендикулярна другой
прямой. (a ⊥ α b и a II b => b ⊥ α)
2. Если две прямые перпендикулярны
одной и той же плоскости,
то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α => a II b)
3. Если прямая перпендикулярна
одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна
и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α => a ⊥ β)
Слайд 10
Свойства :
4. Если две различные плоскости
перпендикулярны одной
и той же прямой,
то эти плоскости параллельны.
(a ⊥
α и a ⊥ β => a II β)
5. Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только одну.
6. Через любую точку прямой можно
провести плоскость, перпендикулярную ей
и притом только одну.
Слайд 11
Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости
(АВС):
АВ, АD, АС, ВD, МN.
D1
В
А1
А
D
С1
С
В1
N
М
900
900
900
900
900
Прямая называется
перпендикулярной к плоскости,
если она
перпендикулярна к
любой прямой, лежащей
в этой плоскости.
Слайд 13
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Дано:
прямая а параллельна прямой а1 и
перпендикулярна плоскости α.
Доказать: а1 α
а
а1
х
Слайд 14
Проведем прямую х в плоскости α. Так как
а⊥α, то а⊥х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных
прямых к третьей а ⊥х. Т.о., прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а ⊥α.
1
1
Слайд 15
а
b
b1
Обратная теорема:
Если две прямые перпендикулярны к
плоскости, то они параллельны.
M
c
Слайд 16
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна
к этой плоскости.
а
р
q
O
m
l
А
B
Q
Р
L
Слайд 17
Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Дан куб. Определи,
какая из перечисленных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?
а) плоскости (ABC) перпендикулярна B1C1,
AC1, BD1, AC, AA1, BD, AB
б) плоскости (BDD1) перпендикулярна AC, AA1, B1C1, AC1, AB, BD1, BD
Слайд 18
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости.
Прямая PQ параллельна плоскости α.
От точек P и Q к плоскости
проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=19,8 см.
Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр.
Ответ:
1. PP1Q1Q —
2. PPP1Q1Q= см
Слайд 19
Перпендикулярность прямой к плоскости.
Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая
пересекает плоскость в точке O.
На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной
точкой этого отрезка.
Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD= 24 см, а OB= 5 см (ответ округли до одной десятой).
Ответ:
1. ΔABD —
2. PABD= см
Слайд 20
Прямые, перпендикулярные к плоскости.
Две прямые образуют прямой угол
с плоскостью α.
Длина отрезка KN= 96,5cм , длина отрезка LM= 56,5 см.
Рассчитай расстояние NM, если KL=41 см.
NM= … см
Слайд 21
Перпендикуляр к плоскости квадрата.
К плоскости квадрата ABCD со стороной 7 см через
точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата.
На прямой отложен
отрезок OK длиной 5 см.
Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой).
KA= см
KB= см
KC= см
KD= см
Слайд 22
Доказательство перпендикулярности скрещивающихся прямых.
Известно, что в тетраэдре DABC ребро DA
перпендикулярно
ребру BC.
На ребрах DC и DB расположены
серединные точки K и L.
Докажи, что DA перпендикулярно KL.
Так как K и L — серединные точки DC и DB,
то KL —……
треугольника CBD.
2. Средняя линия ….. третьей стороне треугольника, то есть BC.
Если DA перпендикулярна одной из …… прямых, то она ….. и другой прямой.
Слайд 23
Признак перпендикулярности прямой к плоскости.
В тетраэдре DABC точка M серединная точка ребра CB.
Известно,
что в этом тетраэдре AC=ABDC=DB
Докажи, что прямая, на которой
находится ребро CB, перпендикулярна плоскости (ADM).
1. Определи вид треугольников.
ΔABC —
ΔDCB —
2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников?
Ответ: градусов.
3. Согласно признаку, если прямая к прямым в некой плоскости, то она к этой плоскости.
Слайд 24
Свойство прямой перпендикулярной к плоскости.
Через вершину прямого угла C к
плоскости прямоугольного треугольника ABC проведена перпендикулярная прямая KC.
Точка D — серединная точка гипотенузы AB.
Длина катетов
треугольника AC = 48 мм и BC = 64 мм.
Расстояние KC = 42 мм. Определи длину отрезка KD.
KD =…. мм
Слайд 25
(сложное) Доказательство от противного.
Прямая d перпендикулярна плоскости α и прямой m, которая не лежит в плоскости α.
Докажи,
что прямая m параллельна плоскости α.
1. Согласно данной информации, если прямая не лежит в
плоскости, она может или быть …плоскости, или … плоскость.
2. Допустим, что прямая m не ….., а …..плоскость α.
3. Если прямая d по данной информации перпендикулярна плоскости α, то она …… каждой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой, которая проведена через точки, в которых плоскость пересекает прямые d и m.
4. Мы имеем ситуацию, когда через одну точку к прямой d проведены две …… прямые.
5. Это противоречие, из чего следует, что прямая m….. плоскости α, что и требовалось доказать.
Слайд 26
Признак перпендикулярности прямой в расчетах расстояния до вершин
квадрата.
