Презентация на тему Треугольники

равенства треугольников.
Второй признак равенства треугольников.
Третий признак равенства треугольников.
Тест .

– периметр треугольника

А
С
В

можно совместить наложением. Рис 1.

что они полностью совместятся, т.е попарно совместятся их вершины

и стороны. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

называется медианой треугольника.
АМ-медиана треугольника АВС.

A

M

B

C

АМ3 –медианы треугольника АВС.

A
B
C
М
2
М

М

1

3

точкой противоположной стороны,
называется биссектрисой угла треугольника.
АА1- биссектриса

А треугольника АВС.

A

B

C

A

1

DD1 и EE1- биссектрисы треугольника CDE.

D
E
C
C

E

D

1

1

1

называется высотой треугольника.


АН-высота треугольника АВС

H

A

B

C

Высота

H
H
H
На рисунках отрезки AH1, BH2, CH3

– высоты треугольника ABC.

A

B

C

3

2

1

H

3

2

H

H

1

любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются

в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

и углы.

A

B

C

A≠ B ≠ C

AB=BC=CA

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона –

основанием равнобедренного треугольника.

Основание

Боковая сторона

Боковая сторона

3
4

A
C
D
B

докажем, что B= C. Пусть AD – биссектриса треугольника

ABC . Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая сторона, 1= 2, так как AD –биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому B= C. Теорема доказана.

Доказательство:

1

2

3

4

A

C

D

B

называется равносторонним или правильным
AB=BC=CA
A≠ B ≠

C

между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и

углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

= А1В1,
АС = А1С1 ,
∠А = ∠А1..
Доказать:
Δ АВС =

Δ А1В1С1.

А

В

С

А1

В1

С1

можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A

совместится с вершиной A1, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A1B1 и A1C1. Поскольку AB=A1B1, AC=A1C1,то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AC - со стороной A1C1; в частности, совместятся точки B и B1,C и C1. Следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

В

С

А1

А

В1

С1

к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и

двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

= В1А1,
∠ В = ∠ В1..
∠ А = ∠

А1..
Доказать:
Δ АВС = Δ А1В1С1

А1

В

А

В1

С

С1

чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона

AB – c равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как A= A 1 и B= B 1, то сторона AC наложится на луч A1C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, треугольники ABC и A 1B1C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

В

А

В1

С1

С

А1

соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники

равны.

= А1С1
АВ = А1В1
ВС = В1С1
Доказать:
Δ АВС =

Δ А1В1С1

А

В

С

А1

В1

С1

A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной

A1, вершина B – с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1.
Возможны три случая: луч C1C проходит внутри угла A1C1B1. Луч C1C совпадает с одной из сторон этого угла. Луч C1C проходит вне угла A1C1B1. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны AC и A1C1, BC и B1C1 равны, то треугольники A1C1 C и B1C1 C – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника AС C1 = A1C1 С, угол BС1С= B1СС1, поэтому A1C1 B1 = ACB. Итак, AC=A1C1 , BC=B1C1, C= C1. Следовательно, треугольники ABC и A 1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

A(A

1

)

C

C

1

В(В

1

)

достаточно знать, что:
а) АВ=DF; б)АС=DE; в)АВ=DE.

2.Для доказательства равенства треугольников

АВС и EDF(рис 2) достаточно доказать, что:
а) А= D б) В= D в) А= Е .
3.Из равенства треугольников АВС и FDE(рис 3)следует, что:
а)АВ=FD б)АС=DF в)АВ=EF .
4.Из равенства треугольников АВС и DEF(рис 4) следует, что:
а) В= D б) А= Е в) С= F .

A

B

C

D

E

F

B

C

A

E

E

E

D

D

D

F

F

F

A

A

B

B

C

C

рис.1

рис.2

рис.4

рис.3

треугольнике DEF все стороны равны. Чтобы доказать равенство треугольников

АВС и DEF достаточно доказать, что :
а) В= D; б)АВ=DE; в)РАВС=РDEF .
6. «Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и высотой».Это утверждение :
а)верно всегда; б)всегда неверно; в)может быть верно.
7.В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а)в любом; б)в равнобедренном; в)в равностороннем.
8.Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник:
а)равнобедренный; б)равносторонний; в)прямоугольный.
9.Если треугольник равносторонний, то:
а)он равнобедренный; б)все его углы равны;
в) любая его биссектриса является медианой и высотой.