Презентация на тему Научная работа о влиянии работ Диофанта Александрийского на дальнейшее развитие математики

способы трактовки; 

Анализ его влияния на дальнейшее развитие математики;

Проверка объективности

и точности сведений;

Задачи данной работы:

в Венеции Диофанта, греческого арифметика, который еще не переведен

на латинский язык. Всего обнаружено шесть книг, которые сейчас находятся в моих руках, однако в своем предисловии он обещает написать тринадцать. Если это произведение, которое в самом деле является выдающимся и очень трудным, удастся разыскать полностью, то я позабочусь о том, чтобы перевести его на латинский язык, для этого моих познаний в греческом, которые я приобрел в доме почтеннейшего господина, будет достаточно. Настоятельно прошу Вас разузнать, не найдется ли у Ваших знакомых полного текста этого сочинения. Ведь в Вашем городе Ферраре проживает несколько знатоков греческой литературы, у которых среди других могут быть и рукописи этого сорта.»

«Арифметики» в знаменитой «Алгебре» Рафаэля Бомбелли (1572)

Первый перевод на

латынь сделан Ксилиандром (1575)

Полный латинский перевод с комментариями «Арифметики», сделанный Баше де Мезириаком (1621)

Ферма
Леонард Эйлер
Карл Якоби
Франсуа Виет
Анри Пуанкаре

сила, степень;
третья степень — Κυ̃ от Κύβος — «кубос», т.е. куб;
четвёртая степень — Δυ̃Δ

от Δύναμοδύναμις — «дюнамодюнамис», т.е. квадратоквадрат;
пятая степень — ΔΚυ̃ от Δύναμοκύβος — «дюнамокубос», т.е. квадратокуб;
шестая степень — Κυ̃Κ от Κύβοκύβος — «кубокубос», т.е. кубокуб.
Свободный член, или x0, Диофант обозначал символом М.

Диофант это первый математик, который ввёл алгебраические обозначения, а также буквенное обозначение для неизвестного; способы перемножения функций с ним от -6 до 6 степеней

равенства .

В связи с этим появляются отрицательные числа и

правила знаков:
(–)·(–) = (+),
(–)·(+) = (–),
а также операция вынесения общего множителя за скобки:
ax+bx = (a+b)x.

«Арифметики» задачи №8





X2 + Y2 = a2 ,
в котором Диофант принимает a2

= 16. Рациональными его решениями будут, например, (0,a) и (0,-a). Чтобы найти другие решения Диофант делает подстановку
X = x, Y = kx – a.
(Невозможно разложить куб на два куба, или же биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень превосходящую квадрат, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы);

L.
Задача IV26 эквивалентна системе

Диофант делает подстановку

Которое обращает первое

уравнение в тождество, а второе принимает вид

Нахождение рациональных точек на эллиптической кривой.
Для таких задач Диофант впервые использует методы касательной и секущей. Из задачи №24 и №26 Четвёртой книги.

найти четыре таких числа, чтобы квадрат суммы всех четырёх

оставался квадратом при вычитании или прибавлении одного из этих чисел)



Приходится прибегать к свойствам прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, опираясь на решение следующего уравнения
x2 + y2 = z2

суммы двух точных квадратов, то их произведение тоже представимо

в виде суммы двух квадратов
Если 
p = a2 + b2 и q = c2 + d2, 
то
pq = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (ad + bc)2 + (ac – bd)2

Где (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (ad + bc)2 + (ac – bd)2 = pq – тождество Диофанта

гласящих, что:

Данное число можно разложить на два куба, сумма

сторон которых задана и найти два таких числа, чтобы была задана их разность, а также разность их кубов.

Эти условия эквивалентны:
x3 + y3 = a3 – b3,
где a>b>0 и x, y  – положительные.

Виет ставит ещё две аналогичные задачи:
1) x3 – y3 = a3 + b3   (x>y>0, a>0, b>0),
2) x3 – y3 = a3 – b3   (x>y>0, a>b>0).
Все эти задачи Виет решает с помощью метода касательной Диофанта.

методы и впервые применяет метод секущей Диофанта (Задача №26

Четвёртой книги) в случае, если известны две конечные рациональные точки кривой. 
А именно, пусть

 F3(α) = f 2,     F3(β) = g2;

тогда Эйлер полагал 

y = f  + (g – f )(x – α)/(β – α)  или   y = g + (f – g)(x – β)/(α – β),

что равносильно проведению прямой через точки (α, f ) и (β, g). После этого он находил новое рациональное значение x из уравнения

 F3(x) =  f  + (g – f) (x – α)2 /(β – α)

кривая

И точка A(x,y) на ней. Обозначим

Теорема Эйлера утверждает, что

для любых точек A(x,y) и B(x1,y1) кривой Г существует точка C(x2,y2) этой кривой, что
П(А) + П(В) = П(С).

П(А)

кривой Γ, а n — любое целое число, положительное или отрицательное, то

координаты точки D рационально выражаются через координаты точки A.
В частности, если n = 2, то получаем уравнение

Соотношение называют иногда теоремой умножения эллиптических интегралов.
Если теперь точки A и B рациональные, то рациональными будут точки C и D, т.е. благодаря теореме Эйлера из двух или одной рациональных точек кривой Γ можно получать новые её рациональные точки.
Эту-то связь теоремы сложения с диофантовым анализом и отметил впервые знаменитый немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби. Он это сделал в своей статье «О применении теории эллиптических и абелевых интегралов в диофантовом анализе»

между собой и систематизировать проблемы диофантова анализа. Для этого

он решил провести новую классификацию многочленов от двух переменных с рациональными коэффициентами.

Согласно Пуанкаре две кривые

 f1(x, y) = 0     и      f2(x, y) = 0

эквивалентны или принадлежат одному классу, если от одной из них к другой можно перейти путём бирационального преобразования с рациональными коэффициентами. Так, например, любые две прямые
ax + by + c = 0     и     a'x + b'y + c' = 0,

обеих прямых, и ставит в соответствие каждой точке A первой прямой точку A' второй, которая

получится при пересечении её с прямой AF (рис. 1). Из этого следует, что все прямые с рациональными коэффициентами принадлежат одному классу.





Рис. 1. Рис. 2.
После этого он переходит к коническим сечениям, т.е. кривым второго порядка, и показывает, что если на коническом сечении  f (x, y) = 0 (с целыми или рациональными коэффициентами) имеется хотя бы одна рациональная точка C, то оно эквивалентно рациональной прямой. Для этого он ставит в соответствие каждой точке A фиксированной рациональной прямой L точку A' конического сечения Г так, чтобы точки A, A' и C лежали на одной прямой (рис. 2). Этот результат, был установлен ещё Диофантом.