Презентация на тему Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

1. В ДУ входит функция только одной независимой переменной.


2.

В ДУ входит функция нескольких независимых переменных.

y’, y’’,…,y(n))=0

Наивысший порядок производной - порядок уравнения.

ОДУ часто представляют

в виде:

y(n)=f(x, y, y’, y’’,…,y(n-1))

уравнение, разрешенное относительно старшей производной.

аналитическом виде.
Точное решение ОДУ - только 1 функция (обычно

в аналитическом виде).
Для нахождения точного решения необходимо задать дополнительные условия (например, начальную точку). Получаем задачу Коши или краевую задачу.
При использовании численных методов решения ОДУ решение представляет собой набор точек, которые лежат на кривой истинного решения или расположены вблизи нее (ввиду погрешности метода).

и МНОГОШАГОВЫЕ.

2. ЯВНЫЕ и НЕЯВНЫЕ.

– погрешность, с которой получается решение. Все методы характеризуется

определенным порядком точности. Чем выше порядок – тем выше точность.

Устойчивость метода характеризует возможность вообще получить достоверный результат.

порядка:

F(x, y, y’)=0

Уравнение разрешаем относительно старшей производной:

y’=f(x, y)

Начальная

точка: x0, y0.
Количество точек на интегральной кривой решения n
Шаг h, с которым будет изменяться значение аргумента.

в виде конечной разности.
За величину приращения аргумента Δx

принимается величина шага h:


Тогда:


Аналогично:

В общем виде: - формула Эйлера

истинное решение ОДУ: y=y(x).







От начальной точки (x0, y0) проводим

касательную к графику до пересечения с линией x=x1. Получаем новую точку (x1, y1).
Из графика видно, что с увеличением количества шагов погрешность возрастает.
Если величину шага h уменьшить, то результат получится более точным.

то есть для расчета последующей точки необходимо знать только

координаты предыдущей.

Данный метод использует явную схему. В правой части формулы Эйлера стоят все известные величины.

Метод Эйлера не является устойчивым методом, поэтому он применяется только для ОДУ, решением которых являются достаточно гладкие функции.

Этот метод характеризуется первым порядком точности (точность низкая).

Он основан на том, что половину шага совершается с

тангенсом угла наклона касательной в предыдущей точке точке, а вторую – с тангенсом угла наклона в последующей точке.

Эйлера-Коши будет следующей:

- формула Эйлера-Коши

В левой и в правой

части формулы Эйлера-Коши стоит неизвестная искомая величина yi+1 - метод является неявным.
Для его реализации находится приближенное значение yi+1 методом Эйлера, подставляется в правую часть формулы Эйлера-Коши и находится уточненное значение yi+1.





Метод является одношаговым, устойчивым, 2-го порядка точности (более точным, по сравнению с методом Эйлера)

точности, является одношаговым, имеет явную схему, но не всегда

устойчив.
Для реализации этого метода используются достаточно громоздкие формулы Рунге-Кутта:

Несмотря на сложные
формулы, данный метод
является самым
распространенным.

точки необходимо знать координаты четырех предыдущих точек.

Как правило в

задачах обычно известна только одна начальная точка. Поэтому три последующие точки вычисляются с использованием одношаговых методов, а затем используется 4-шаговый метод Адамса.




Данный метод имеет 4-й порядок точности, явную схему, но не всегда устойчив.

дифференциальных уравнений 1-го порядка:



Оба уравнения необходимо разрешить относительно старшей

производной:



Пусть заданы начальные условия: x0, y0, z0.

решения единичных ОДУ.
Метод Эйлера:


Метод Эйлера-Коши:

высшего порядка можно привести к системе дифференциальных уравнений 1-го

порядка путем замены переменных.
Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Заданы начальные условия: x0, y0, y’0
Разрешим уравнение относительно старшей производной:


Заменим первую производную y’ функцией z. Тогда y’’=z’, а y’0= z0 Получим систему:



Решаем полученную систему известными методами.