Презентация на тему Дифференциал и интеграл

значению x из некоторого множества D (D∈R) сопоставляется по

некоторому правилу единственное число y, зависящее от x
y= f(x)
x – аргумент функции (независимая переменная)
y – значение функции f (зависимая переменная)
D – область определения функции D (f) – все значения x
Все значения y – область значений функции f , E (f)

(x; y), где x пробегает всю область определения функции

f
Способы задания функции
Аналитический (рекуррентный) – формула
Графический – график функции
Табличный – таблица зависимости x и y

радиусом r
Окрестностью точки x0 радиуса r называется интервал с

центром в точке x0 радиуса r, δ(x0)
Если рассматривается окрестность без самой точки x0, то она называется проколотой °δ(x0)

точке x0, если для любого числа ε>0, существует окрестность

δ>0, такая, что выполняется неравенство|f(x)-A|<ε, для любого x из окрестности δ(x0)
−εA−ε

функции существует, то он единственный (число A)


Теорема о пределе

суммы: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы равный сумме пределов функций f(x) и g(x)

f(x) и g(x), то существует предел их произведения равный

произведению пределов функций f(x) и g(x)


Теорема о пределе частного: если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их частного равный частному пределов функций f(x) и g(x)

за знак предела

Следствие 2: если n натуральное число, то

точке x0 при

Следствие 4: предел дробно –рациональной функции

равен значению этой функции в точке x0 при
если x принадлежит области определения функции

отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента

стремится к нулю

следующим формулам:

производной функции на приращение аргумента функции y = f(x)
dy

= f'(x)Δx
Рассмотрим функцию y = x, тогда y'= 1 ⇒ dx = Δx ⇒
dy = f'(x)dx ⇒ (отношение дифференциалов)

приращения
Дифференциал функции – это линейная функция приращения аргумента или

касательная к графику функции ⇒ геометрически dy = f'(x)dx - уравнение касательной в системе координат (dx; dy) ⇒

точки x0 можно приближенно вычислить значение функции в точке

x близкой к x0, если знать приращение функции Δy на [x0; x], то точное значение функции f(x) = y0+ Δy, где y0 значение функции в точке x0
Приближенные формулы основаны на замене приращения функции Δy её дифференциалом dy
Δy = f(x) - y0
f(x) - y0 ≈ f '(x0) Δx
f(x) ≈ y0+ dy ≈ y0 + f '(x0)(x – x0)

nx0n-1Δx
Пример:

интеграла
Таблица первообразных
Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям
Определенный

интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Применение определенного интеграла: вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела
Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными