Презентация на тему Классы Фиттинга с заданными свойствами операторов Локетта

с заданными свойствами операторов Локетта и описание новых классов

Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта.

условиям:
каждая нормальная подгруппа любой группы из F также принадлежит

F;
из того, что нормальные подгруппы A и B группы G принадлежат , всегда следует, что их произведение AB принадлежит F.

Напомним, что

F* - наименьший из классов Фиттинга, содержащий F,, такой,

что (G×H) F*=GF*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга . Операторы «*» и «*» называются операторами Локетта.

Напомним, что

Фишера, Гашюца, Хартли. Центральное место среди проблем, связанных с

построением структурной теории классов Фиттинга, занимает общая проблема определения структуры класса Фиттинга, известная в теории классов групп под названием "гипотеза Локетта". Ее возникновение обусловлено результатами Блессеноля-Гашюца и Локетта , которые в терминах радикалов определили два обширных семейства классов Фиттинга: нормальные классы, а также классы, которые в дальнейшем стали называть классами Локетта.

Введение

, у которого в любой группе G ее F

–радикал G F является F -максимальной подгруппой .
F -максимальная подгруппа группы G – такая F -подгруппа H из G, которая не содержится ни в какой большей F -подгруппе.

Напомним, что

имеет место F= F*, где F* наименьший из классов

Фиттинга, содержащий класс Фиттинга F, такой, что (G×H) F*=G F*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга .

Напомним, что

класса Фиттинга и класса Локетта, порожденного F?
Гипотеза Локетта

подтверждена для отдельных случаев локального класса Фиттинга. Для произвольных

локальных классов Фиттинга указанная гипотеза подтверждена в разрешимом случае в 1988 году Н.Т.Воробьевым и в произвольном случае в 1996 году Галледжи. Для отдельных случаев частично локальных классов Фиттинга гипотеза Локетта была подтверждена Н.Т. Воробьевым, Е.Н. Залесской и Н.Н. Воробьевым в 2007 году, Е.Н. Залесской и Ж.П. Макаровой в 2012 году. Вместе с тем Бергер и Косси установили, что это предположение неверно для нелокальных классов Фиттинга

:P?{классы Фиттинга}.

Локальный класс Фиттинга F – такой класс Фиттинга,

для которого существует Н-функция f такая, что F  = LR(f).

Напомним, что

Локетта, остается по-прежнему актуальной.
В данной работе гипотеза Локетта

подтверждена для отдельных случаев произведений классов Фиттинга. Основным результатом является теорема 4.1.
Напомним некоторые основные определения.

каждая фактор-группа любой группы из F также принадлежит F.
Формация

– гомоморф F, замкнутый относительно конечных подпрямых произведений.
Радикальный гомоморф – гомоморф F, который является классом Фиттинга.
Гомоморф F называется насыщенным, если из того, что G/Ф(G) ∈F,следует G ∈ F..

Основные определения

замкнута относительно франттиниевых расширений, т.е. из того, что G/Ф(G)∊

F всегда следует G ∊ F .Ф(G) – подгруппа Фраттини группы G, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп G.

Основные определения

является L -классом.
Докажем, что F≠F*. Пойдем от противного.
По леммам

3.1 и 3.2 докажем равенство
X * Y =(X * Y )*.
Докажем равенство (X⋂S *) Y= X Y ⋂ S * Y
по лемме 1.2(b).

Схема доказательства

* Y ⋂ S * X= S * (Y

⋂ X)=[(Y ⋂ X)-(1)]= S *
Получаем противоречие условию. Значит наше предположение не верно и класс F не является классом Локетта.

Схема доказательства

а также при написании курсовых и дипломных проектов, чтении

курсов по теории групп для студентов математических специальностей.

«Математические методы» 2011-2015 гг.

Работа внедрена в учебный процесс кафедры

алгебры и методики преподавания математики.

Результаты исследований представлены и приняты к печати в материалах «XII Белорусской математической конференции БМК-2016».