«Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений»
исследовательская работа творческого
характера и практической
направленности.
Выполнили:
Марченко Руслана, Митякина Дарья, Капелько Евгений, Халтурина Екатерина – учащиеся 9«А»класса,
члены школьного НОУ «Эрудит» МОУ «СОШ №30».
Научный руководитель:
Маковская Евгения Васильевна, учитель математики первой категории МОУ «СОШ №30», г. Норильск.
2008 год.
Слайд 4
Цели и задачи работы.
Целью нашей работы является:
рассмотрение некоторых
нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах, которые
я сам подбирал, многие из них сам составлял, сам решал;
составить алгоритм логической цепочки действий учащегося при решении квадратного уравнения.
желание поделиться результатами своей работы со своими одноклассниками;
возможность увидеть, как воспринимается материал, и каков процент учащихся будет пользоваться предложенными способами;
и возможность практического применения материала, изложенного в работе на уроках математики.
Слайд 5
Основная часть работы.
Квадратные уравнения, которые решаются по свойству
коэффициентов.
Задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.
Решение квадратных уравнений способом
замены переменной.
Слайд 6
Свойства коэффициентов.
Если коэффициенты квадратного уравнения ax² +bx +
c = 0 (a≠0) удовлетворяют условию a + b
+ c = 0, то корни такого квадратного уравнения равны:X1 =1, X2 =c/a.
Если же – такому условию: a - b + c = 0, то корни таковы: X1 =-1, X2 =-c/a.
Слайд 7
Примеры. Случай1: a + b + c =
0.
1. х²+8х-9=0.
Решение: a +b+c =1+8-9=0 →х1=1,х2=-9/1=-9.
Ответ:х1=1,х2=-9.
2. 5х²-(m+5)х+m=0.
Решение: a +b + c = 5 -(m+5) +m = 5-m-5+m=0 →
Ответ:х1=1,х2=m/5.
Слайд 8
Примеры. Случай2: a - b + c =
0.
1. 5х² - 9х -14=0.
Решение: a -b+c =5+9-14=0
→х1=-1,х2=14/5.
Ответ:х1=-1,х2=14/5.
2. 3х²+(3-n)х-n=0.
Решение: a -b + c = 3 -(3-n) -n = 3 -3 +n -n=0 →
х1=-1,x2=n/3. Ответ:х1=-1,х2=n/3.
• 3. (8-d)х² - dх -8=0.
Решение: a -b + c = (8-d)+d-8 = 8-d+d-8 =0 →
х1=-1,х2=8/8-d Ответ:х1=-1,х2=8/8-d.
Слайд 9
РазделII.Оригинальные задачи с геометрическим смыслом, решаемые с помощью
теоремы Виета.
Задача1. 1). Найдите площадь прямоугольника, длины сторон которого
численно равны корням уравнения
√2x² - 17x + 3 = 0.
1) 3√2; 2) 1,5√2 ; 3) 3 ; 4) 8,5√2; 5) 17√2.
Решение. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. По условию длины сторон данного прямоугольника численно равны корням данного уравнения. Значит, применив теорему Виета, по которой произведение корней квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0 равно c/a , получим:
S прямоугольника = 1,5√2, то есть верным является второй вариант ответа .А именно: 1,5√2 .
Слайд 10
Задача 2.
Найдите периметр параллелограмма, длины сторон которого
численно равны корням уравнения
√6x² - 12x + 3
= 0.
1) 2√6; 2) 24; 3) 4√6 ; 4) √6 ; 5) 6 .
Решение. Полупериметр, p, параллелограмма - это сумма длин двух его соседних сторон. По условию длины сторон данного параллелограмма численно равны корням данного уравнения. Значит, по теореме Виета, их сумма равна X1 + X2 =2√6.
Но X1 + X2 = p, следовательно, P = 2p = 2 •2√6=4√6.
Значит, верным есть третий вариант ответа, то есть:4√6 .
Слайд 11
РазделIII.Решение квадратного уравнения способом замены переменной.
1). Решить уравнение:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
= 24 .
Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и сделаем замену переменной, получим:
( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24,
Пусть x² + 5x = y, тогда
( y + 4)( y + 6) = 24,
y² + 10y + 24 =24,
y² + 10y = 0,
y ( y + 10) = 0 → y = 0 или y + 10 =0
y = -10.
Вернёмся к переменной x , получим два уравнения:
x² + 5x =0 и x² + 5x = -10.
x ( x + 5) = 0 x² + 5x +10 = 0.
x = 0 или x + 5 = 0 D = 25 – 40 < 0 уравнение не имеет действительных корней
x = -5. Ответ: X1 = 0 . X2 =- 5.
Слайд 12
Разложение квадратного трёхчлена на множители способом замены переменной
2)
Представить выражение x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
– 15 в виде произведения двух многочленов.
Решение: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 =
= x(x +3)(x + 1)(x + 2) -15 =
= (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15.
Пусть x² + 3x = t , тогда получим: (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15 = t(t + 2) – 15 = t² +2t – 15.
Найдём теперь корни полученного квадратного трёхчлена. Для этого решим квадратное уравнение:
t² +2t – 15 = 0.
По теореме Виета
t1 = -5, t2 = 3.
Значит, t² +2t – 15 = (t +5)(t – 3).
Вернёмся к переменной x, получим
ответ на вопрос задачи: x (x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x +5)( x² + 3x -3).
Слайд 13
Алгоритм решения квадратного уравнения
1.Проверить каким является квадратное уравнение
полным или неполным.
2.Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства
коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трех случаев(ах²=0, ах²+bх=0 или ах²+с=0) соответствует данное уравнение.
3. Если уравнение полное, то решаем
а)либо по свойствам коэффициентов,
либо по теореме Виета,
в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.
Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в таком виде как в разделе III, то придётся применить способ замены переменной.
Слайд 14
Заключение.
Надеемся, что наша работа не
останется незамеченной всеми, кто любит математику, любит решать задачи
разных уровней.
Выражаем признательность нашему преподавателю математики и научному руководителю Евгении Васильевне Маковской за помощь, оказанную нам при выполнении данной работы и за те ценные указания, которые мы получали от неё в процессе работы.
Нам также очень хотелось бы, чтобы наша работа послужила учащимся при подготовке к урокам и, в перспективе, к экзаменам, а также преподавателям при подготовке к урокам.
