Презентация на тему Приёмы решения квадратных уравнений

только первой, но и второй степени ёщё в древности

была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:





Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

квадратные уравнения

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы , т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X.
Разность между ними 2Х



Отсюда Х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

УРАВНЕНИЕ:

или же:

и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г.

индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax²+bx=c, a>0

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?.

Соответствующее задачи уравнение:


Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:
Он писал : "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х·5
получите в этой задаче пять, 5
умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25
прибавь это к тридцати девяти, 25+39
будет шестьдесят четыре, 64
извлеки из этого корень, будет восемь, 8
и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5
останется 3
это будет корень квадрата , который ты искал."
А второй корень ? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

х2 +10 х = 39

квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 ,

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.       
.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком
Леонардом Фибоначчи.  

Вывод формулы решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была

им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1 + x2 = -p , x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

к виду:
А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены

относительно х.

Цель:

Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

Способы:

Пример:

7 = 0.

х2 + 6х -7 = 0.
(х +3)2

– 16 = 0.
(х +3)2 = 16.
х +3 = 4; х + 3 = -4.
х = 1, х =-7.

Ответ: 1; -7.

Метод выделения полного квадрата

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

D

называют дискриминантом квадратного уравнения.

помощью теоремы Виета
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2

= – 10, значит корни имеют разные
знаки
Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю
корень - отрицательный
Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 = 2

Например:

+15 = 0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному

члену

у2 - 11у +30= 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета,
получаем корни: 5;6,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.


Ответ: 2,5; 3.

Решение уравнений способом «переброски»

корней равен 1, а
второй по теореме

Виета равен

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен

Пример:

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x1 = 1,
Ответ: 1;

используя формул квадратное уравнение можно решить графическим

способом. Решим уравнение
Для этого построим два графика:

Ответ:

Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.
Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

1)y=x2
2)y=x+1

квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0

(а ≠ 0) можно рассматривать
как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q (- ; ),
проходящей через точку A(О; 1), и оси Ох .

и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на

с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Для уравнения
номограмма дает корни

геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали

не алгебраически, а геометрически.
А вот, например, как древние греки решали уравнение:


или

Выражения и геометрически предоставляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение
одно и тоже уравнение.
Откуда и получаем что , или