Презентация на тему Расчет сооружений методом конечных элементов

сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и

с более точным учетом действующих нагрузок.
Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ).

1. Понятие о методе конечных элементов
Метод конечных элементов – это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами (КЭ).
В дискретном методе мы рассмотрели три типа стержневых элемента, которые используются и в МКЭ как конечные элементы.

называются ферменным КЭ, а 1-го типа – плоским стержневым

КЭ. При расчете пространственных рам используется КЭ бруса. В расчетах плоских тел используются треугольный или четырехугольный КЭ. При расчете пространственных сооружений могут использоваться КЭ призмы или КЭ тетраэдра и др.

Для расчета разных сооружений разработано множество других КЭ.

ферменный КЭ

стержневой КЭ

КЭ бруса

треугольный КЭ

четырехугольный КЭ

призменный КЭ

тетраэдальный КЭ

В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ,

соединяемых между собой в узлах конечно-элементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели.
В пределах одной и той же расчетной схемы сооружения можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, т.к. можно:
− разбить ее на разное количество однотипных КЭ;
− представить ее как комбинацию различных типов КЭ;
− реализовать различные варианты МКЭ − в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода.
В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений.

решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется

полная потенциальная энергия U:
U = W – V.
Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил.
Обычно они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения.
Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле:
для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной.
Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

с вычислением дифференциала функции.
Это уравнение позволяет

свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии.
Так как U =W − V , уравнение Лагранжа принимает вид

Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. Тогда получается вариационное уравнение Лагранжа:

и формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил.
Вариационный принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи к дискретной задаче путем аппроксимации непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента через его узловые перемещения. Этот принцип является основой варианта МКЭ в форме метода перемещений.
Имеются и другие вариационные принципы − принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др.

сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы.

Например, в плоской системе вводятся узлы с тремя, с двумя или с одной степенью свободы:

Для использования принципа Лагранжа вводятся координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:

где – вектор перемещений внутренних точек КЭ, C – матрица координатных функций,  – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ.
Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома, КЭ называется комплекс-элементом.

узлами i и j в местной системе координат. Его

узлы имеют по одной поступательной степени свободы и соответствующие им узловые перемещения u1i и u1j. Пусть в узлах КЭ приложены силы P1i и P1j :

Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени

Запишем его в матричной форме:

где − матрица координатных функций,
− вектор коэффициентов.

и в полином, получим

два равенства:

С другой стороны, Тогда предыдущие уравне-ния примут вид:

Их можно записать в матричной форме:

или как

где

матрица
называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних

точек КЭ через перемещения узлов.
По аналогии с перемещениями, поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил по формуле

геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать

в виде, аналогичном рассмотренным ранее уравнениям дискретного подхода:
для дискретной системы для континуальной системы

Здесь:
и – вектора деформаций и напряжений,
и – матрицы равновесия и податливости.

При рассмотрении конечного элемента как континуальной системы, принцип Лагранжа можно записать в виде

где левая и правая части представляют возможные работы внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V.

модели КЭ с использованием матрицы форм H. Тогда, после

ряда преобразований получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ:

в которой симметричная квадратная матрица

− матрица жесткости конечного элемента.
Физический смысл любого элемента kij матрицы K – это реакция (реактивная сила), возникающая в i-ом направлении от заданного единичного перемещения в j-ом направлении.

находящегося в одноосном напряженном состоянии, геометрическое уравнение будет

Сравнив его с матричным уравнением

видим, что матрица равновесия будет дифференциальным оператором с одним членом:

Из уравнения связи между деформацией и напряжением

следует, что матрица податливости будет:

вычислим все необходимые величины:
Интегрирование по объему V

сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. (F − площадь сечения КЭ):