Презентация на тему Теория игр. Решение задач в смешанных стратегиях

2х2;

2) Решение задач в смешанных стратегиях размерностью
2хn и

модели принятия решений в конфликтных ситуациях.
ИГРА – это упрощенная

В

Выигрыш игрока А – aij
Выигрыш игрока B – bj





Задача

aij = - bj

игрока В
Строки – стратегии игрока А
Матрица называется ПЛАТЕЖНОЙ МАТРИЦЕЙ,

конкретной ситуации.






ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ИГРОКА
МАКСИМАЛЬНЫЙ ВЫИГРЫШ

кладут на стол по картонному кружку красного (К), зеленого

Вк Вз Вс
Ак -2 2 -1
Аз 2 1 1
Ас 3 -3 1

наихудшем поведении противника получить максимальный выигрыш.

Min выигрыша А

-2
1
-3

Max выигрыша А
Min проигрыша В

3 2 1

α = max -2;1;-3 = 1
- нижняя цена игры

b = min 3; 2; 1 = 1
- верхняя цена игры

α = b = ⱱ = 1 – седловая точка

(Аз;Вс) – пара оптим. стратегий

можно найти нижнюю и верхнюю цены игры, которые указывают,

Поиск такого решения приводит к необходимости применять смешанные стратегии, то есть чередовать чистые стратегии с какими-то частотами.

игроков (коалиций) с нулевой суммой (матричной игре) при a

Теорема о максимине указывает на существование равновесия для случая VA = VB при a = b, и, следовательно, существования оптимальных смешанных стратегий.

имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, в общем

Цена игры V – средний выигрыш, приходящийся на одну партию, - всегда удовлетворяет условию:

т.е. лежит между нижней a и верхней в
ценами игры.

которые входят в их оптимальные смешанные стратегии с вероятностями,

метод

Графический метод

игры 2х2
Оптимальное решение в смешанных стратегиях: SA = |

а игрок В – свою чистую активную стратегию В1,

2) Если игрок А использует свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок В – свою чистую активную стратегию В2, то цена игры V равна:

a12p1 + a22p2 = v

a21p2 = v

a12p1 + a22p2 = v

смешанную стратегию второго игрока из условия:

a11p1 + a21p2 =

методом

чистых стратегиях, то есть существует ли седловая точка или

α < β, при этом цена игры V ϵ [4;7]

Игра не имеет седловой точки, следовательно, не решается в чистых стратегиях

=

q1=1, то q2=1-q


р

1-р
q

3p+7(1-p)=V
8p+4(1-p)=V

3q+8(1-q)=V
7q+4(1-q)=V

А



3q+8(1-q)=V
7q+4(1-q)=V
3q+8-8q=7q+4-4q
-5q+8=3q+4
q1=1/2, q2=1/2; (1/2;1/2)
V=3*1/2+8*1/2=5,5
Решим системы уравнений:
ОТВЕТ: оптимальная смешанная стратегия игрока

игрока (А):
а) построим систему координат:
б) по оси абсцисс откладывается

по оси абсцисс откладывается вероятность q1 ϵ [0,1], равная

графическим методом

чистых стратегиях, то есть существует ли седловая точка или

α = 4, β = 7,
при этом цена игры ⱱ ϵ [4,7]

α < β – игра не имеет седловой точки,
и поэтому имеет решение
в смешанных стратегиях.

смешанные стратегии игроков: Sa = (0,5; 0,5); Sb =

случае строится графическое изображение игры для игрока В и

0,375); Sb = (0,5; 0,5)
при цене игры v