Презентация на тему Вероятностные задачи в ГИА 9,11 классах

.
.
«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но

отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
Дж. Сильвестр

предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.
Пример:

выбрасывается игральный кубик (опыт);
выпадает двойка (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным.

Пример: В мешке лежат три картофелины.

Опыт – изъятие овоща из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

опыта ни одно из них не имеет большую возможность

появления, чем другие.

Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета.

Выпадение орла и выпадение решки –
равновозможные события.

2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.

Опыт – извлечение шара.

События – извлекли синий шар и извлекли
белый шар - неравновозможны.

Появление белого шара имеет больше шансов..

одного из них исключает наступление других.
Пример: 1) В

результате одного выбрасывания выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз
не исключает выпадение решки во второй

событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а

любые два других несовместны.

Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.

Элементарные события: выпадение орла
и выпадение решки образуют полную группу.

События образующие полную группу называют элементарными.

событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех

элементарных событий, входящих в данную группу .

P(A) = m/n

Классическое определение вероятности

n широко используют правила комбинаторики.
Задача №1: Сколько двузначных

чисел можно
составить используя цифры 7; 8; 9
(цифры могут повторяться)?

В данном случае легко перебрать все комбинации.

77
78
79

88
87
89

99
97
98

9 вариантов

составить

используя цифры 7; 8; 9
(цифры могут повторяться)?

Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен.

Решим задачу иначе.

На первом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На втором месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На третьем месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На четвертом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На пятом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

Комбинаторное правило умножения

100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56?

Число

возможных исходов - 100 (сто чисел). Верно названное число одно. Это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01.
Ответ: 0,01

до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число

кратное пяти?
Число возможных исходов 100 (сто чисел). Чисел кратных пяти двадцать (перечислим):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100. То есть число благоприятных исходов 20. Вероятность того, что ученик назовёт число кратное пяти равна 20 к 100 или 20/100=0,2.
Ответ: 0,2

до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число,

принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно?




Число возможных исходов - 100. Число благоприятных исходов - 16: это числа от 5 до 20 (5,6…..19,20), причём 5 и 20 входят в промежуток (в условии сказано «от 5 до 20 включительно»). Искомая вероятность равна 16/100.
Ответ: 0,16

того, что оно делится на 51.
Число возможных исходов -

это количество трёхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так: 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). То есть число всевозможных исходов: 900. Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 - самое большое трехзначное число - на 51, то получим приблизительно 19 целых пятьдесят восемь сотых. То есть в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным. А значит трехзначных чисел, делящихся на 51 - 18.
Число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02.
Ответ: 0,02

ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 7 задач, равна

0,78. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 6 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 7 задач.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «уча­щий­ся решит 7 задач» и В = «уча­щий­ся решит боль­ше 7 задач». Их сумма — со­бы­тие A + B = «уча­щий­ся решит боль­ше 6 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,89 = P(A) + 0,78, от­ку­да P(A) = 0,89 − 0,78 = 0,11.
Ответ: 0,11

у гросс­мей­сте­ра Б с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А иг­ра­ет чер­ны­ми,  то А вы­иг­ры­ва­ет у Б с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры А и Б иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во

вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А вы­иг­ра­ет оба раза.



Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей: 0,5 · 0,3 = 0,15.
Ответ: 0,15.

два друга — Вадим и Олег. Класс слу­чай­ным об­ра­зом

раз­би­ва­ют на 3 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Вадим и Олег ока­жут­ся в одной груп­пе.

В клас­се 21 уча­щий­ся. 3 рав­ные груп­пы - это груп­пы по 7 че­ло­век. Пусть Вадим на­хо­дит­ся в одной из трех групп. Тогда для Олега в груп­пе Ва­ди­ма оста­ет­ся 6 мест из 20 воз­мож­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что Вадим и Олег ока­жут­ся в одной груп­пе:  6 из 20
 
Ответ: 0,3.

свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4

зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Возможное число исходов - 10. Число благоприятных исходов - 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1.
Ответ: 0,1

про­слу­жит боль­ше года, равна 0,93. Ве­ро­ят­ность того, что он

про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,87. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.
Пусть A = «чай­ник про­слу­жит боль­ше года, но мень­ше двух лет», В = «чай­ник про­слу­жит боль­ше двух лет», С = «чай­ник про­слу­жит ровно два года», тогда A + B + С = «чай­ник про­слу­жит боль­ше года».
 
Со­бы­тия A, В и С не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия С, со­сто­я­ще­го в том, что чай­ник вый­дет из строя ровно через два года — стро­го в тот же день, час и се­кун­ду — равна нулю. Тогда:
 P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),
 от­ку­да, ис­поль­зуя дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем
 0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти имеем:
 
P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.
 
Ответ: 0,06.

рублёвых, 6 двух­рублёвых, 4 пя­ти­рублёвых и 3 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты.

Витя на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит более 70 руб­лей.



У Вити в ко­пил­ке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Боль­ше 70 руб­лей оста­нет­ся, если до­стать из ко­пил­ки либо рублёвую, либо двух­рублёвую мо­не­ту. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 18 : 25 = 0,72.
 
Ответ: 0,72.

спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из

Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

*

Благоприятное событие А: первой выступает
спортсменка из Канады

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
гимнасток
из Канады.
m=50-(24+13)=13

Соответствует количеству всех гимнасток.
n=50

Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В

первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Выясним, как распределятся выступления по дням:
1 день – 8 выступлений, остальные поровну, значит по 18 выступлений в день.
2 день - 18 выступлений,
3 день – 18 выступлений,
4 день – 18 выступлений,
5 день – 18 выступлений
Вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18 к 80 или 18/80=0,225.
Ответ: 0,225

бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с

помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова.
Он будет играть кем-то из 25 спортсменов (на чемпионат приехали Руслан и ещё 25 спортсменов), значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России. Это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9 к 25 или 0,36.

поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что

один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

*

Благоприятное событие А: выбранный насос
не подтекает.

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
исправных
насосов
m=1400-14=1386

Соответствует количеству всех насосов.
n=1400

190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами.

Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

*

Благоприятное событие А: купленная сумка
оказалась качественной.

К-во благоприятных
событий: m=?

К-во всех событий группы: n=?

Соответствует
количеству
качественных
сумок.
m=190

Соответствует количеству всех сумок.
n=190+8

рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Петя, не глядя,

переложил какие-то три монеты в другой карман.
Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в
разных карманах.

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.
Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в
одном кармане.

варианты перекладывания:
1 карман

2 карман
5 1 1 5 1 1
1 1 5 1 1 5
1 5 1 1 5 1
Р = ( 2/6 * 4/5 * 3/4 ) * 3 =3/5 = 0,6
«5» «1» «1»

Задача 16. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.
Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в
разных карманах.

варианты перекладывания:
1 карман

2 карман
5 5 1 1 1 1
5 1 5 1 1 1 ИЛИ наоборот
1 5 5 1 1 1

Р = ( 2/6 * 1/5 * 4/4 ) * 2 = 2/5 = 0,4
«5» «5» «1»

Задача 17. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.
Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в
одном кармане.

сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый

раз выпало меньше трёх очков.



Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4.
Ответ: 0,4

кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7

очков. Результат округлите до сотых.

*

Опыт: бросают три игральные кости.

Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков.

К-во благоприятных
событий m=?

331
313
133

223
232
322

511
151
115

412
421
124

142
214
241

К-во всех событий группы n=?

1-я кость - 6 вариантов
2-я кость - 6 вариантов
3-я кость - 6 вариантов

кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна

7.

*

сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый

раз выпало меньше трёх очков.


Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты):
1 кубик 2 кубик
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1
- всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4.
Ответ: 0,4

Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот,

кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

Всего 5исходов. Благоприятных исходов – 2. Р = 2/5

первые два броска окончатся одинаково.
Найдём число возможных исходов, переберём

все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать удобнее

Первые два броска одинаково могут окончиться в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5.

трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни

разу.




В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125.
Ответ: 0,125

кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна

7.

Всего исходов – 36
Благоприятных исходов – 6
Р=6/36=1/6