Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Содержание

Локальная интерполяция 1. Кусочно–постоянная интерполяция На каждом отрезке [xi-1,xi] интерполя-ционный многочлен равен константе , а именно левому или правому значе-нию функции. Для левой кусочно-постоянной интерполяции
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Локальная интерполяция 1. Кусочно–постоянная интерполяция На каждом отрезке [xi-1,xi] Для правой кусочно-постоянной интерполяции Для левой кусочно- постоянной интерполяции имеем графическое представление На каждом интервале [xi–1, xi] функция является линейной . Значения коэффициентов находятся Получаем систему уравнений: откуда находим Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде Т.е. Или F(x) = ki * (x - xi-1) + fi-1, Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке Заданы значения некоторой функции:Пример: Требуется найти значение функции при х=1 и х=3.2 по кусочно–постоянной и кусочно–линейной Точка х=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е. и, следовательно, по формулам В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всём интервале [a, b], Допустим, что заданы две точки: (x0,f0) и (x1, f1), т.е. N=1. Через Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэффициенты. Уравнения системы Определитель данной системы носит имя определителя Вандермонда. Из курса математического анализа известно, что определитель отличен от нуля, если xk≠xm Решение ищем в виде где li(z) – базисные полиномы N–й степени, для Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то Ln(x) будет удовлетворять условиям интерполя-ции: Каким образом построить базисные полиномы? Определимi=0,1,…, N Легко понять, чтоФункция li(z) является полиномом N–й степени от z и для i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.Таким образом, нам удалось решить задачу о построении Погрешность метода зависит от свойств исходной функции, а также от расположения узлов Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в двух т.е. получаем формулы кусочно–линейной интерполяции. Пусть N=2. Тогда:В результате мы получили ф-лы квад-ратичной или параболической интерпо- ляции Пример: Заданы значений неко-торой функции:Требуется найти значение функ-ции при z=1, используя интерпо-ляционный На каждом i–м отрезке [xi–1, xi], i=1, 2,…, N, решение будем искать • непрерывности первой и второй производной:S /i(xi–1)=S /i–1(xi–1), S //i(xi–1)=S //i–1(x i–1), ai=fi, i=1, 2,..., N, bi hi – cihi2/2 + di hi3/6=fi – Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S //(a)=S //(b)=0. Можно показать, После этого вычисляются коэффициенты bi, di: i=1, 2,..., N. (2)В случае постоянной Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.Коэффициенты определяются из формул: Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка z∈[a, b] необходимо решить пример Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и 0.8, используя сплайн – Решая эту систему линейных уравнений, получим: Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е. i=1. Следовательно, получим, Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е. i=4.Следовательно, Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.пример Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность xi+1-xi=h Будем искать интерполяционный многочлен в виде:Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)Найдем значения коэффициентов a0, a1, a2, ...,an:Полагая a1=Δy0/ha2=Δ2y0/2!h2a3=Δ3y0/3!h3....................an=Δny0/n!hnТаким образом: Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1) Практически формула (1) применяется в несколько ином виде.Возьмем: t=(x-x0)/h, тогда x=x0+th и Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Решение.Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы: Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0 Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив
Слайды презентации

Слайд 2 Локальная интерполяция 1. Кусочно–постоянная интерполяция На каждом отрезке [xi-1,xi]

Локальная интерполяция 1. Кусочно–постоянная интерполяция На каждом отрезке [xi-1,xi]

интерполя-ционный многочлен равен константе , а именно левому или

правому значе-нию функции. Для левой кусочно-постоянной интерполяции

Слайд 3

Слайд 4 Для правой кусочно-постоянной интерполяции

Для правой кусочно-постоянной интерполяции

Слайд 5 Для левой кусочно- постоянной интерполяции имеем графическое представление

Для левой кусочно- постоянной интерполяции имеем графическое представление

Слайд 6 На каждом интервале [xi–1, xi] функция является линейной

На каждом интервале [xi–1, xi] функция является линейной . Значения коэффициентов

.



Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в

концах отрезка:

Кусочно–линейная интерполяция

Слайд 7 Получаем систему уравнений:




откуда находим






Получаем систему уравнений: откуда находим

Слайд 8 Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде

Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде

Слайд 9 Т.е.

Т.е.

Слайд 10 Или F(x) = ki * (x -

Или F(x) = ki * (x - xi-1) + fi-1, ki

xi-1) + fi-1, ki = (fi - fi-1) /

(xi - xi-1), xi-1 ≤ x ≤ xi, i=1,2,...,N-1
При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение х, а затем подставить его в формулу. Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции.

Слайд 11 Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке

Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке

Слайд 12

Слайд 13 Заданы значения некоторой функции:

Пример:

Заданы значения некоторой функции:Пример:

Слайд 14 Требуется найти значение функции при х=1 и х=3.2

Требуется найти значение функции при х=1 и х=3.2 по кусочно–постоянной и

по кусочно–постоянной и кусочно–линейной интерполяции.
РЕШЕНИЕ.
Точка х=1 принадлежит первому

локальному отрезку [0, 2], т.е. i=1 и, следовательно, по формулам левой кусочно–постоянной интерполяции
F(1) = f0 = –1, по формулам правой кусочно–постоянной интерполяции
F(1)=f1=0.2. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

Слайд 15

Слайд 16 Точка х=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е.

Точка х=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е. и, следовательно, по

и, следовательно, по формулам левой кусочно – постоянной интерполяции

F(3.2)= =0.5, по формулам правой кусочно – постоянной интерполяции F(3.2)= =0.8. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

Слайд 17

Слайд 18 В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на

В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всём интервале [a,

всём интервале [a, b], т. е. строится полином, который

используется для интерполяции функции f(x) на всём интервале изменения аргумента х. Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома (многочлена) m–ой степени Pm(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+am xm.

Глобальная интерполяция

Слайд 19 Допустим, что заданы две точки: (x0,f0) и (x1,

Допустим, что заданы две точки: (x0,f0) и (x1, f1), т.е. N=1.

f1), т.е. N=1. Через эти точки можно провести единственную

прямую, т.е. интерполирующей функцией будет полином первой степени P1(x)=a0+a1x. Через три точки (N=2) можно провести параболу P2(x)=a0+a1x+a2x2 и т.д. Рассуждая таким способом, можно предположить, что искомый полином должен иметь степень N

Слайд 20 Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений

Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэффициенты. Уравнения

на коэффициенты. Уравнения системы представляют собой условия интерполяции при

каждом x=xi

Слайд 21

Слайд 22 Определитель данной системы носит имя определителя Вандермонда.

Определитель данной системы носит имя определителя Вандермонда.

Слайд 23 Из курса математического анализа известно, что определитель отличен

Из курса математического анализа известно, что определитель отличен от нуля, если

от нуля, если xk≠xm (т. е. все узлы интерполяции

различные). Таким образом, доказано, что система имеет решение.
Для нахождения коэффициентов а0, а1, а2, …, аn надо решить СЛАУ, что является сложной задачей. Но есть другой способ построения полинома N-ой степени, который не требует решения такой системы.

Слайд 24 Решение ищем в виде



где li(z) – базисные

Решение ищем в виде где li(z) – базисные полиномы N–й степени,

полиномы N–й степени, для которых выполняется условие: .
Полином

Лагранжа

Слайд 25 Убедимся в том, что если такие полиномы построены,

Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то Ln(x) будет удовлетворять условиям интерполя-ции:

то Ln(x) будет удовлетворять условиям интерполя-ции:

Слайд 26 Каким образом построить базисные полиномы? Определим







i=0,1,…, N


Каким образом построить базисные полиномы? Определимi=0,1,…, N

Слайд 27 Легко понять, что





Функция li(z) является полиномом N–й степени

Легко понять, чтоФункция li(z) является полиномом N–й степени от z и

от z и для нее выполняются условия "базисности":




=0


Слайд 28 i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.





Таким образом, нам удалось

i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.Таким образом, нам удалось решить задачу о

решить задачу о построении интерполирующего полинома N-ой степени, и

для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде:


Слайд 29

Слайд 30 Погрешность метода зависит от свойств исходной функции, а

Погрешность метода зависит от свойств исходной функции, а также от расположения

также от расположения узлов интерполяции и точки z. Полином

Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N<20. При больших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т. е. его погрешность не убывает с ростом N).

Слайд 31 Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения

Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в

функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют

вид:

Слайд 32
















т.е. получаем формулы кусочно–линейной интерполяции.

т.е. получаем формулы кусочно–линейной интерполяции.

Слайд 33 Пусть N=2. Тогда:








В результате мы получили ф-лы квад-ратичной

Пусть N=2. Тогда:В результате мы получили ф-лы квад-ратичной или параболической интерпо- ляции

или параболической интерпо-
ляции

Слайд 34 Пример: Заданы значений неко-торой функции:





Требуется найти значение функ-ции

Пример: Заданы значений неко-торой функции:Требуется найти значение функ-ции при z=1, используя

при z=1, используя интерпо-ляционный полином Лагранжа. Для этого случая

N=3, т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при z=1:


Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37 На каждом i–м отрезке [xi–1, xi], i=1, 2,…,

На каждом i–м отрезке [xi–1, xi], i=1, 2,…, N, решение будем

N, решение будем искать в виде полинома третьей степени:
Si(x)=ai+bi(x–xi)+ci(x–xi)2/2+di(x–xi)3/6
Неизвестные

коэффициенты ai, bi, ci, di, i=1, 2,..., N, находим из:
• условий интерполяции: Si(xi)=fi, i=1, 2,..., N; S1(x0)=f0,
• непрерывности функции Si(xi–1)=Si–1(xi–1), i=2, 3,..., N,

Кубический интерполяционный сплайн

Слайд 38 • непрерывности первой и второй производной:
S /i(xi–1)=S /i–1(xi–1),

• непрерывности первой и второй производной:S /i(xi–1)=S /i–1(xi–1), S //i(xi–1)=S //i–1(x

S //i(xi–1)=S //i–1(x i–1), i=2, 3,..., N.
Учитывая, что ,



для

определения 4N неизвестных получаем систему 4N–2 уравнений:


Слайд 39 ai=fi, i=1, 2,..., N,
bi hi – cihi2/2

ai=fi, i=1, 2,..., N, bi hi – cihi2/2 + di hi3/6=fi

+ di hi3/6=fi – fi–1, i=1, 2,..., N,
bi –

bi–1 = ci hi – di hi2/2, i=2, 3,..., N,
di hi = ci – ci–1 , i=2, 3,..., N.

где hi=xi – xi–1.

Слайд 40 Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S

Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S //(a)=S //(b)=0. Можно

//(a)=S //(b)=0. Можно показать, что при этом . Из

системы можно исключить неизвестные bi , di , получив систему N+1 линейных уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов ci:
c0 =0, cN =0,
hici–1+2(hi+hi+1)ci+h i+1ci+1=6



i=1, 2,…, N–1. (1)

Слайд 41 После этого вычисляются коэффициенты bi, di:




i=1, 2,...,

После этого вычисляются коэффициенты bi, di: i=1, 2,..., N. (2)В случае

N. (2)

В случае постоянной сетки hi=h эта система уравнений

упрощается.

Слайд 42

Слайд 43 Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом

Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.Коэффициенты определяются из формул:

прогонки.
Коэффициенты определяются из формул:

Слайд 44 Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка

Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка z∈[a, b] необходимо

z∈[a, b] необходимо решить систему уравнений на коэффициенты ci,

i=1,2,…, N–1, затем найти все коэффициенты bi, di. Далее, необходимо определить, на какой интервал [xi0, xi0–1] попадает эта точка, и, зная номер i0, вычислить значение сплайна и его производных в точке z
S(z)=ai0 +bi0(z–xi0)+ci0(z–xi0)2/2+di0(z–x i0)3/6
S /(z)=bi0+ci0(z–xi0)+di0(z–x i0)2/2, S //(z)=ci0+di0(z–x i0).

Слайд 45 пример

пример

Слайд 46 Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и

Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и 0.8, используя сплайн

0.8, используя сплайн – интерполяцию.
В нашем случае: hi=1/4,




Выпишем

систему уравнений для

определения :

Слайд 47

Слайд 48 Решая эту систему линейных уравнений, получим:

Решая эту систему линейных уравнений, получим:

Слайд 49

Слайд 50 Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е.

Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е. i=1. Следовательно, получим,

i=1. Следовательно, получим,

Слайд 51 Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е.

Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е. i=4.Следовательно,

i=4.
Следовательно,

Слайд 52 Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и

Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.пример

отметить на нем узлы интерполяции.

пример

Слайд 53 Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным

Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность

образом когда разность xi+1-xi=h постоянна для всех значений x=0..n-1.
Конечная

разность k-го порядка:
Δyi=yi+1-yi
Δ2yi= Δyi+1- Δyi=yi+2-2yi+1+yi
………………………………
Δkyi=yi+k-kyi+1-k+k(k-1)/2!*yi+k-2+...+(-1)kyi

Интерполяционная формула Ньютона.

Слайд 54 Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)
Найдем значения коэффициентов

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)Найдем значения коэффициентов a0, a1, a2,

a0, a1, a2, ...,an:
Полагая x=x0, находим a0=P(x0)=y0;
Далее подставляя значения

x1, x2, ...,xn получаем:

Слайд 55 a1=Δy0/h
a2=Δ2y0/2!h2
a3=Δ3y0/3!h3
....................
an=Δny0/n!hn
Таким образом: Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

a1=Δy0/ha2=Δ2y0/2!h2a3=Δ3y0/3!h3....................an=Δny0/n!hnТаким образом: Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1)

(1)

Слайд 56 Практически формула (1) применяется в несколько ином виде.
Возьмем:

Практически формула (1) применяется в несколько ином виде.Возьмем: t=(x-x0)/h, тогда x=x0+th

t=(x-x0)/h, тогда x=x0+th и формула (1) переписывается как:

Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0

(2)

Формула (2) называется интерполяционной формулой Ньютона.

Слайд 57 Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить

Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы

на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке

х=1.25.

пример

Слайд 58 Решение.
Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:

Решение.Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:
  • Имя файла: interpolirovanie-funktsiy.pptx
  • Количество просмотров: 145
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Дельфины
Следующая - Институт присяжных заседателей

Похожие презентации

Некоторые приемы работы со сборками. Работа с большими сборками Некоторые приемы работы со сборками. Работа с большими сборками 145
Средняя группа №1 Средняя группа №1 134
ЭКСТРЕМИЗМ В МОЛОДЕЖНОЙ СРЕДЕ ЭКСТРЕМИЗМ В МОЛОДЕЖНОЙ СРЕДЕ 95
Разное рабочая программа по теме Разное рабочая программа по теме 105
Корпорацияның негізгі капиталы мәні және құрамы Корпорацияның негізгі капиталы мәні және құрамы 122
Презентация Адаптация ребенка к детскому саду презентация к уроку (младшая группа) Презентация Адаптация ребенка к детскому саду презентация к уроку (младшая группа) 123
Животные. Кто как говорит. методическая разработка (2 класс) по теме Животные. Кто как говорит. методическая разработка (2 класс) по теме 107
Выступление на РМО и на семинаре ресурсного центра по теме Методическое сопровождение обучающихся с умственной отсталостью учебно-методический материал Выступление на РМО и на семинаре ресурсного центра по теме Методическое сопровождение обучающихся с умственной отсталостью учебно-методический материал 117
Формирование духовно-нравственной культуры через театрализованную деятельность презентация к уроку по теме Формирование духовно-нравственной культуры через театрализованную деятельность презентация к уроку по теме 108
Презентация по казахскому языку на тему Астана қаласы. Көмекші есімдер (6 класс) Презентация по казахскому языку на тему Астана қаласы. Көмекші есімдер (6 класс) 180
Борис Николаевич Ельцин Борис Николаевич Ельцин 133
Презентация Правила дружбы презентация к уроку (4 класс) Презентация Правила дружбы презентация к уроку (4 класс) 131
Родительский клуб Василисушка материал (подготовительная группа) по теме Родительский клуб Василисушка материал (подготовительная группа) по теме 85
Модуль для 1с-Битрикс. Руководство и настройка Модуль для 1с-Битрикс. Руководство и настройка 115
День Народного Единства методическая разработка (старшая группа) День Народного Единства методическая разработка (старшая группа) 130
ПРЕЗЕНТАЦИЯ МОИХ АВТОРСКИХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ презентация к уроку (подготовительная группа) ПРЕЗЕНТАЦИЯ МОИХ АВТОРСКИХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ презентация к уроку (подготовительная группа) 177
Мастер-КлассРазвивающие игры В.В.Воскобовича в развитии речи детей младшего и среднего дошкольного возраста презентация Мастер-КлассРазвивающие игры В.В.Воскобовича в развитии речи детей младшего и среднего дошкольного возраста презентация 125
91
Путевые машины Путевые машины 216
Портфолио педагога дополнительного образования, преподавателя ритмики презентация Портфолио педагога дополнительного образования, преподавателя ритмики презентация 37
Второй после Второй после 99
презентация Адаптация ребенка к ДОУ презентация к уроку (младшая группа) презентация Адаптация ребенка к ДОУ презентация к уроку (младшая группа) 48
Флеш карта для родителей Осеннее дерево в технике рисования ладошкой презентация к уроку (младшая группа) Флеш карта для родителей Осеннее дерево в технике рисования ладошкой презентация к уроку (младшая группа) 51
Парижский университет Парижский университет 112
Урок вежливости в 1 классе Урок вежливости в 1 классе 112
fizmin s zhivotnymi fizmin s zhivotnymi 96
Организация дефектологической работы в системе коррекционной деятельности Санаторного детского дома презентация к уроку по теме Организация дефектологической работы в системе коррекционной деятельности Санаторного детского дома презентация к уроку по теме 106
Консультация для родителей : Для чего нужен театр детям консультация Консультация для родителей : Для чего нужен театр детям консультация 114
Образовательная деятельность в разновозрастном детском сообществе СВЕТЛЯЧОК презентация Образовательная деятельность в разновозрастном детском сообществе СВЕТЛЯЧОК презентация 133
Продающий маркетинг: seo, контекстная реклама, товарные площадки Продающий маркетинг: seo, контекстная реклама, товарные площадки 97