Презентация на тему Лекция 5. Производная и дифференциал

расстоянию до кресла зубного врача?

П.В.Грес

предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении

последнего к нулю:

x

x

0

y

x+ x

y=f (x)

f (x)

f (x+ x)

 y

 x

математик и механик, член Берлинской и Парижской Академии наук.

Самостоятельной изучал математику, в 23 года стал академиком. Сделал массу открытий. Парижская АН пять раз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем. Термин «производная» введен Лагранжем на рубеже 18-19 веков. Производная – произведенная, полученная по определенным правилам из данной функции.

в точке x имеет конечную производную, то функцию называют

дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

«дэ игрек по дэ икс»)

Ньютона (читается «игрек с точкой»)

Коши

(читается «дэ игрек»)

ее производная y' = f '(x) в точке x0

есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке x0.

x

x

0

y

x+ x

y=f (x)

f (x)

f (x+ x)

 y

 x

M

M1





При x0 точка M1 переходит в точку M и секущая MM1 становится касательной к кривой f(x) в точке M.

меняющейся со временем x, производная y' = f '(x)

есть скорость изменения y в момент x0.

Пройденный путь s зависит от времени t: s = s(t).

Скорость:


Ускорение:

философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед,

член Лондонского королевского общества и Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук.
В 18 лет защитил магистерскую диссертацию по философии, в 20 лет стал доктором права.
Является одним из создателей математического анализа, алгебры определителей, дифференциального и интегрального исчислений.

математик, член Лондонского королевского общества (с 1672) и его

президент (с 1703).
Им начато построение математического анализа на основе учения о пределе, подготовлены основы для дифференциального и интегрального исчисления. В физике обосновал справедливость закона всемирного тяготения, законы движения, теорию света и др.

точке xDf, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство.

Если существует производная, тогда





Это означает, что функция в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно.



обратной функций
Производная неявной функции

аргумента функции находится исходное значение функции y = f

(x).
2. Аргументу x дается приращение x и находится новое значение функции f (x + x).
3. Вычисляется приращение функции y = f (x + x) – f (x).
4. Находится предел отношения:

функции находим исходное значение функции y = f (x)

= C.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)= C.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = C – C = 0.
4. Находим предел отношения:

функции находим исходное значение функции y = f (x)

= x2.
2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)= (x + x)2.
3. Вычисляем приращение функции:
y = f (x + x) – f (x) = x2 + 2xx + x2 – x2.
4. Находим предел отношения:

производных:


Доказательство.


формуле:


Доказательство.



формуле:




Доказательство. Самостоятельно.

u, а u есть дифференцируемая функция от x, то

производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции:



Доказательство.



производной данной функции:


Здесь y = f (x) и x

= g (y) – две взаимно-обратные дифференцируемые функции, y'x  0.

Доказательство.



не разрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию

x, то y называют неявной функцией (implicit function) от x.
Чтобы найти производную y' этой неявной функции, нужно уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от x. Из полученного уравнения выразить y'.

Пример.

Ответ.

порядка функции f (x).
Ее производная есть производная второго порядка:

( f '(x))' = f '' (x)

Производная n –го порядка обозначается f (n)(x) и находится как производная от функции f (n-1)(x).

функции
Производная степенной функции
Производные тригонометрических функций
Таблица производных

x аргумента функции находим исходное значение функции:

2. Аргументу

x даем приращение x и находим новое значение функции:

предел отношения:

на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки

x X. Тогда существует конечная производная:



На основании теоремы о связи предела и б.м. можно записать:

функции, равная произведению производной на приращение аргумента:


Или
Дифференциал
Если x

– независимая переменная, то x = dx

дифференциал:

x
y=f (x)
f (x)
f (x+ x)
 y
 x
dy


Дифференциал частного:


Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.

произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории.

Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине.

Л. Н. Толстой
«Война и мир»

Обещанное продолжение …