Презентация на тему Лекция № 2. Числовые характеристики выборки

В теории вероятностей определили числовые характеристики для

случайных величин, с помощью которых можно сравнивать однотипные случайные величины. Аналогично можно определить ряд числовых характеристик и для выборки. Поскольку эти характеристики вычисляются по статистическим данным (по данным, полученным в результате наблюдений), их называют статистическими характеристиками.

n:







где m – число ваиантов.

среднее арифметическое всех значений выборки.



Выборочное среднее можно записать и

так: , где:

- частость.

В случае интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а ni – соответствующие им частоты.

арифметическое квадратов отклонений выборки от

выборочного

среднего :


или


Выборочное среднее квадратическое выборки определяется формулой:

оно измеряется в тех же единицах, что и данные

выборки.
Если объём выборки мал ( ), то пользуются исправленной выборочной дисперсией:

Величина называется исправленным средним квадратическим отклонением.

обзор характеристик, которые наряду с уже рассмотренными применяются для

анализа статистических рядов и являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины.
Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются частным случаем более общего понятия – момента статистического ряда.

– х-степеней всех значений выборки:

или .
Из определения следует , что начальный выборочный момент первого порядка:

Центральным выборочным моментом порядка l называется среднее арифметическое l-х-степеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего .

или

второго порядка :

, определяемое формулой:


Выборочный коэффициент асимметрии служит для

характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из его ветвей, начиная с вершины, имеет больший «спуск», чем другая.
Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором – правосторонней.

, определяемое формулой:

.

Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределённой по нормальному закону, равен 0.
Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса принимают . Если , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой ; если
, то полигон более крутой по сравнению с нормально кривой.

- частоты;

- объём выборки; с помощью суммы находим

с помощью суммы находим и

с помощью суммы находим

С помощью суммы находим

значениях вариантов и соответствующих им частот вычисление выборочного среднего,

дисперсии и выборочного моментов по приведённым ниже формулам приводит к громоздким вычислениям.
В этом случае условные варианты , определяемые по формулам ,

где числа с и h выбираются произвольно. Чтобы упростить вычисления, в качестве с выбирают вариант, который имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число с называется «ложным нулём». В качестве h выбирают число равное длине интервала (в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей .

находим условные моменты:





Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам:




где

и находим по формулам:

2.

В качестве вариантов возьмём середины интервалов.
Перейдём

к условным вариантам.
Вариант, значение которого 0,04, имеет наибольшую частоту и находится в середине модального ряда. Примем его за «ложный ноль» (начало отсчёта).
Условные варианты найдём по формуле:

, где
с = 0,04 h = 0,6

→ расчёты проведены верно.
По данным таблицы находим условные моменты:




Находим числовые характеристики выборки: