Презентация на тему Пределы

при x→ a , если для любого

малого, наперёд заданного, положительного числа ξ найдётся положительное число δ такое, что для всех х ≠ а и удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ будет выполняться неравенство |f(x) - b| < ξ.

Обозначение:

Определение 2.
Постоянная величина а называется пределом переменной х, если разность между ними есть величина бесконечно малая α,
т.е. lim x = a, если х - а = α, α → 0.

.

иметь двух различных пределов.

Теорема 2. Предел суммы конечного числа

переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных.
lim x=a, lim y=b → lim(x+y)=lim x + lim y = a + b


Теорема 3. Предел разности переменных величин, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных.
lim x=a, lim y=b → lim(x-y)= lim x – lim y = a - b

переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

lim x=a, lim y=b → lim(x y) = lim x ∙ lim y = a ∙ b

Следствия:
⁰ Предел произведения постоянной величины на переменную, имеющую предел, равен произведению постоянной на предел переменной.
lim (Аx)=А lim х, г де А=const, х- переменная.
⁰ Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела переменной.
lim xⁿ=( lim х)ⁿ

Теорема 5. Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному пределов этих переменных (при условии, что предел делителя не равен нулю)
lim x=a, lim y=b → lim (x/y) = lim x / lim y = a / b

Функция, обратная по величине бесконечно большой, является бесконечно малой.

Функция, обратная по величине бесконечно малой, отличной от нуля, есть бесконечно большая.

Для функции f(x), такой, что f(x)≠0 в окрестности точки а, справедливы свойства:




если , то ;

2) Если , то

мера угла


Второй «замечательный» предел


 

В этом случае подставляем вместо переменной её предельное значение

и вычисляем полученное выражение.
2 тип.
Предел делителя равен нулю. В этом случае предел дроби равен бесконечности.
3 тип.
Пределы делителя и делимого равны нулю.
В этом случае получим неопределённость , для раскрытия которой нужно выполнить некоторые преобразования данного выражения.

раскрытия которой нужно выполнить некоторые преобразования данного выражения:

* разложить на множители числитель и знаменатель дроби, затем сократить дробь, подставить вместо переменной её предельное значение и вычислить

или

* умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, сократить и подставить предельное значение переменной

предел делимого – конечное число. В этом случае предел

частного равен 0.

5 тип.
Пределы делителя и делимого равны .

Если предел делителя и делимого равны , то получится выражение, не имеющее смысла (неопределённость ). Для раскрытия этой неопределённости нужно числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наивысшей степени.