Презентация на тему Преобразования Лапласа

(изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью

исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах,

является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

называется функция F(s) комплексной переменной

, такая что:

F(s) , называется функция f(t) вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число.Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

задач, в которых для функции f(x) участвуют значения x

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим
образом:

Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают

D-преобразование и Z-преобразование.

— решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени nT где n – целое число, а T - период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа
получим:

получим Z-

преобразование:

, то есть

существует предел


то он сходится абсолютно и равномерно для F(s) и  — аналитичная функция при (  — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

существует в

смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:
1. преобразование Лапласа существует, если существует интеграл
2. преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для
3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции производная к f(x) для

произведение изображений этих оригиналов:

Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем

от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент

последнего за вычетом оригинала в нуле справа:
В более общем случае (производная n -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент,

взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

теоремы):

, все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.